Алгебра логики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.

Определение[править | править вики-текст]

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.

Высказывания строятся над множеством {B, \lnot, \land, \lor, 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

\lnot отрицание (унарная операция),
\land конъюнкция (бинарная),
\lor дизъюнкция (бинарная),

а логический ноль 0 и логическая единица 1константы.

Так же используются названия

Унарная операция отрицания в тексте формул оформляется либо в виде значка перед операндом (\lnot x) либо в виде черты над операндом (\bar x), что компактнее, но в целом менее заметно.

Аксиомы[править | править вики-текст]

  1. \bar {\bar x}=x, инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания
  2. x\lor\bar x=1
  3. \ x\lor1=1
  4. \ x\lor x=x
  5. \ x\lor0=x
  6. \ x\land\bar x=0
  7. \ x\land x=x
  8. \ x\land0=0
  9. \ x\land1=x

Логические операции[править | править вики-текст]

Простейший и наиболее широко применяемый пример такой алгебраической системы строится с использованием множества B, состоящего всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать[неопределённость], что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквиваленция \leftrightarrow («тогда и только тогда, когда»), импликация \rightarrow («следовательно»), сложение по модулю два \oplusисключающее или»), штрих Шеффера \mid, стрелка Пирса \downarrow и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция \neg приобретает смысл вычитания из единицы; \lor — немодульного сложения; & — умножения; \leftrightarrow — равенства; \oplus — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); \mid — непревосходства суммы над 1 (то есть A \mid B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.

Свойства логических операций[править | править вики-текст]

  1. Коммутативность: x\circy = y\circx, \circ\in{&, \lor, \oplus, \sim, \mid, \downarrow}.
  2. Идемпотентность: x\circx = x, \circ\in{&, \lor}.
  3. Ассоциативность: (x\circy)\circz = x\circ(y\circz), \circ\in{&, \lor, \oplus, \sim}.
  4. Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:
    • x\land  (y\lor z) = (x\land y)\lor (x\land z),
    • x\lor (y\land  z) = (x\lor y)\land (x\lor z),
    • x\land (y\oplus z) = (x\land y)\oplus (x\land z).
  5. Законы де Мо́ргана:
    • \overline{x\land y} = \bar x \lor  \bar y,
    • \overline{x\lor y} = \bar x\land \bar y.
  6. Законы поглощения:
    • x\land (x\lor y) = x,
    • x\lor (x\land y) = x.
  7. Другие (1):
  8. Другие (2):
    • x\oplus y = x\land \bar y \lor  \bar x\land y = (x\lor y)\land (\bar x\lor \bar y).
    • x\sim y = \overline{x\oplus y} = 1\oplus x\oplus y = x\land y\lor \bar x \land  \bar y = (x\lor \bar y)\land (\bar x\lor y).
    • x\rightarrow y = \bar x \lor  y = x\land y\oplus x\oplus 1.
    • x \lor  y = x \oplus y \oplus x\land y.
  9. Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):
    • x\mid y = \overline {x\land y} = \bar x \lor  \bar y.
    • x\downarrow y = \overline {x\lor y}= \bar x\land \bar y.

Существуют методы упрощения логической функции: например, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класки

История[править | править вики-текст]

Своим существованием наука «алгебра логики» обязана английскому математику Джорджу Булю, который исследовал логику высказываний. Первый в России курс по алгебре логики был прочитан П. С. Порецким в Казанском государственном университете.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]