Ортогональная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований n-мерного векторного пространства V над полем k, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму Q на V (то есть таких линейных преобразований \varphi, что Q(\varphi(v))=Q(v) для любого v\in V).

Обозначения и связанные определения[править | править исходный текст]

  • Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно Q) преобразованиями V, а также автоморфизмами формы Q (точнее, автоморфизмами пространства V относительно формы Q).
  • Обозначается O_n, O_n(k), O_n(Q) и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
  • Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (l плюсов, m минусов) где n = l + m, обозначается O(l,m), см. напр. O(1,3).

Свойства[править | править исходный текст]

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства V, которые сохраняют F, и обозначается через O_n(k,\;F) или (когда ясно о каком поле k и форме F идёт речь) просто через O_n.
  • Если B — матрица формы F в неком базисе пространства V, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц A с коэффициентами в k, что
    A^TBA=B.
    В частности, если базис таков, что Q является суммой квадратов координат (то есть, матрица B единична), то такие матрицы A называются ортогональными.
  • Над полем действительных чисел, группа O_n({\mathbb R},\;V) компактна тогда и только тогда, когда форма Q знакоопределена.

Другие группы[править | править исходный текст]

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(n). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу SO(n,Q), обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». SO(n,Q), по построению, является также подгруппой специальной линейной группы SL(n).

Ссылки[править | править исходный текст]