Ортогональная группа

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $n$-мерного векторного пространства $V$ над полем $k$, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $Q$ на $V$ (то есть таких линейных преобразований $\varphi$, что $Q(\varphi(v))=Q(v)$ для любого $v\in V$).

Обозначения и связанные определения

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно $Q$) преобразованиями $V$, а также автоморфизмами формы $Q$ (точнее, автоморфизмами пространства $V$ относительно формы $Q$).
• Обозначается $O_n$, $O_n(k)$, $O_n(Q)$ и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ($l$ плюсов, $m$ минусов) где $n = l + m$, обозначается O($l$,$m$), см. напр. O(1,3).

Свойства

• В случае если характеристика основного поля больше двух, то с $Q$ связана невырожденная симметрическая билинейная форма $F$ на $V$, определенная формулой

  $F(u,\;v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v).$

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства $V$, которые сохраняют $F$, и обозначается через $O_n(k,\;F)$ или (когда ясно о каком поле $k$ и форме $F$ идёт речь) просто через $O_n$.

• Если $B$ — матрица формы $F$ в неком базисе пространства $V$, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц $A$ с коэффициентами в $k$, что

  $A^TBA=B.$

  В частности, если базис таков, что $Q$ является суммой квадратов координат (то есть, матрица $B$ единична), то такие матрицы $A$ называются ортогональными.

• Над полем действительных чисел, группа $O_n({\mathbb R},\;V)$ компактна тогда и только тогда, когда форма $Q$ знакоопределена.

Другие группы

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL($n$). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу $SO(n,Q)$, обозначаемую так же как и ортогональная группа но с добавлением буквы «S». $SO(n,Q)$, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы $SL(n)$.