Постоянная Хинчина

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $K_{0}\approx 2{,}685452$, равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина, обнаружившего и доказавшего существование этой постоянной и формулу для неё в 1935 году. Обозначение $K_{0}$ или $K$ соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» в европейских языках.

Определение

Для почти любого вещественного числа $x$ элементы $a_{i}$ его разложения в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от $x$. Эта величина и называется постоянной Хинчина.

Иными словами, если

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;$,

где $a_{0}$ целое, а остальные $a_{i}$ натуральные, то для почти всех $x$ выполняется

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,}6854520010\ldots$ (последовательность A002210 в OEIS).

При этом постоянную Хинчина $K_{0}$ можно выразить в виде бесконечного произведения

$K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}$.

Значимость

Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — это последовательность натуральных чисел, и любая последовательность натуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либо вещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либо образом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел, то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенно не обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемых последовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — то обстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, — это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях в цепную дробь, изящный и глубокий результат, один из самых поразительных фактов в математике.

Схема доказательства

Здесь приводится доказательство существования постоянной Хинчина и формулы для неё, принадлежащее Чеславу Рыль-Нардзевскому, которое проще доказательства Хинчина, не использовавшего эргодическую теорию.

Поскольку первый элемент $a_{0}$ разложения числа $x$ в цепную дробь не играет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то можно ограничиться рассмотрением иррациональных чисел на отрезке $(0,1)$, то есть множеством $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$. Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие с цепными дробями вида $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$. Введём отображение Гаусса $T\colon I\to I$:

$T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]$.

Для каждого борелева подмножества $E$ множества $I$ также определим меру Гаусса — Кузьмина:

$\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}$.

Тогда $\mu$ — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевых подмножеств $I$. Мера $\mu$ эквивалентна мере Лебега на $I$, но обладает дополнительным свойством: преобразование $T$ сохраняет меру $\mu$. Более того, можно показать, что $T$ — эргодическое преобразование измеримого пространства $I$, снабжённого мерой $\mu$ (это самый трудный момент в доказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любой $\mu$-интегрируемой функции $f$ на $I$ среднее значение $f\left(T^{k}x\right)$ — одно и то же почти для всех $x$:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,d\mu$ для почти всех $x\in I$ по мере $\mu$.

Выбирая функцию $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1}$, получаем:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}$

для почти всех $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ из $I$.

Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднее геометрическое первых $n$ элементов цепной дроби при $n\to \infty$, а справа — постоянную Хинчина.

Разложение в ряд

Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда:

$\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$,

или, разделяя члены ряда,

$\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]$,

где $N$ — некоторое фиксированное целое число, $\zeta (s,q)$ — дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что $\zeta (n)-1$ быстро приближается к нулю с ростом $n$. Можно также дать разложение через дилогарифм:

$\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]$.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь различных чисел

Средние геометрические от первых $n$ элементов разложения в цепную дробь различных чисел в зависимости от $n$. Зелёный график соответствует числу $\sin 1$ — похоже, что он сходится к постоянной Хинчина, но это не доказано. Жёлтый график соответствует описанному в тексте числу, специально построенному так, чтобы график сходился к постоянной Хинчина. Красный и синий графики соответствуют числу e и числу ${\sqrt {31}}$, соответственно; они не сходятся к постоянной Хинчина.

Хотя среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь равно $K_{0}$ для почти всех чисел, но это не доказано практически ни для одного конкретного числа $x$, кроме тех, которые специально сконструированы так, чтобы удовлетворять этому утверждению. Такое число можно построить, задавая сразу элементы его разложения в цепную дробь, например, так: любое конечное число элементов в начале не окажут никакого влияния на предельное значение среднего геометрического, поэтому их можно взять любыми (например, можно взять первые 60 элементов равными 4); каждый последующий элемент берётся равным 2 или 3 в зависимости от того, больше или меньше постоянной Хинчина среднее геометрическое всех предшествующих элементов. Для данного конкретного примера, однако, не выполняется статистика Гаусса — Кузьмина.

К числам $x$, про которые известно, что среднее геометрическое элементов их разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятся рациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможных квадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натурального логарифма $e$. Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностей бесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому их не нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторых чисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для больших $n$), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаев равенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятся число π, постоянная Эйлера — Маскерони, число $\sin 1$, ${\sqrt[{3}]{2}}$, сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельство позволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точно неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим или трансцендентным числом.

Средние степенные

Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднего степенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любой последовательности $\{a_{n}\}$ среднее степени $p$ равняется

$K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}$.

Если $\{a_{n}\}$ — элементы разложения числа $x$ в цепную дробь, то $K_{p}$ для любого $p<1$ и почти всех $x$ даются формулой

$K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}$.

Она получается вычислением соответствующего степенного среднего по статистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функции $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p}$ в вышеизложенном доказательстве. Можно показать, что значение $K_{0}$ получается в пределе $p\to 0$.

В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения в цепную дробь. Это число равно

$K_{-1}=1{,}74540566240\ldots$ (последовательность A087491 в OEIS).

Литература

• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Физматлит, 1960. — 112 с.
• Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant (англ.) // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 417—431. — doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR: 1377659.

Ссылки

• 1000000 знаков постоянной Хинчина после запятой на сайте факультета математики Барселонского университета