Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Описанная и вписанная окружность в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Расстояние между центрами окружностей одинаковы: $d=r\,$.

Равнобедренный прямоугольный треугольник и обычный равнобедренный треугольник с равными описанной и вписанной окружностями $d=r\,$.

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

$\alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,$

третий внутренний угол — прямой:

$\gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,$

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

$a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,$

а основание равно:

$c=a{\sqrt {2}}\!\,,$

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

$h_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,$

где R — радиус описанной окружности.

Периметр

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

$P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.$

Площадь

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

$S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.$

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

$S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,$

где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

$p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.$

Общие характеристики

Описанная и вписанная окружности

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

$r\!\,$	$R\!\,$	$a\!\,$	$c\!\,$
$R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,$	${\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,$	${\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,$	${\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,$

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольниками

Поляболы с одним-пятью основными символами

Четыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

$d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,$

$d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.$

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ($d=r\,$), имеет углы:

$\alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,$

$\gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.$

Покрытие евклидовой плоскости

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.