В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.
Решето Эратосфена для поиска простых чисел используется в этом доказательстве.
Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:
Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:
Повторяем для следующего:
Опять вычитаем, получаем:
где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.
Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:
Поделим обе стороны на всё, кроме , получим:
Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:
Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для .
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Свойства
Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
Если взять асимптотическое разложение при частичных сумм вида
,
справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых . Из этого можно получить следующие формулы для :
, при , кроме ;
, при , кроме или ;
, при , кроме , или и т.д.
Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
где — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
Для функции
,
введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой.
Обобщения
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[3]. Пусть — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число, такое, что оператор имеет след. Тогда дзета-функция оператора определяется для произвольного комплексного числа, лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой
История
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел.
Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.
Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.