Начала (Евклид)
«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до нас античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны нам только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.
Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.
Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом[1]. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.
Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых — Пьера Рамуса[2], Федериго Коммандино[3], Христофа Шлюсселя (Клавиуса)[4] и Савилия.
«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. Так, на китайском языке первые 6 книг «Начал» издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). По количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.
Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рождён для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением»[5].
Краткий обзор содержания
В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.
Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, I def. 2 — второе определение первой книги.
Первая книга
Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I def. 1-7) гласят:
- Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
- Линия — длина без ширины.
- Края же линии — точки.
- Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
- Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
- Края же поверхности — линии.
- Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, и Давид Гильберт начинает «Основания геометрии»[6] так:
Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем
За определениями Евклид приводит постулаты (I post. 1-5):
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.
За постулатами следуют аксиомы (I ax. 1-9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:
- Равные одному и тому же равны и между собой.
- И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
- И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
- (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)
- (И удвоенные одного и того же равны между собой.)
- (И половины одного и того же равны между собой.)
- И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
- И целое больше части.
- (И две прямые не содержат пространства.)
В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. I post. 4 и 5 в ряде списков выступают как I ax. 10 и 11 соответственно.
За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так I prop. 2 предлагает «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует I post. 3 в неожиданно узком смысле.
При доказательстве I prop. 4, выражающего признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I prop. 8) аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, постулат I post. 4 теперь принято доказывать, как это сделал впервые Хр. Вольф[7], у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности [8].
Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.
Обзор содержания книг II—XIII
II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».
III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.
IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.
V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.
VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию.
VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.
X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».
XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.
XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.
XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.
Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки науки [9] [10] показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:
- Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
- Книги V—VI и XII — Евдокс Книдский.
- Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э.
- Книги X и XIII — Теэтет Афинский.
В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.
Манускрипты и издания «Начал»
Греческий текст «Начал»
При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896—1897 и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.[11]
Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, из них самые известные:
- MS D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford
- MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканский манускрипт)
На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (IX век и далее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом (T. L. Heath).[12]
Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых сейчас IX—XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный — концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, напр., сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принес в жертву быков.
История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу еще в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 Пейрар (F. Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.
Латинский текст «Начал»
В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным М. Фолькертсом[13]. В этом каталоге манускрипты разделены на след. группы:
- Так называемая «Геометрия Боэция» (в действительности трактат Боэцию не принадлежит). Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, напр., линия — объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т. д. Язык не засорен арабскими терминами, поэтому считается, что геометрия Боэция — прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга
- Геометрия Аделарда (Adelard) составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как Adelard II, содержит все 15 книг «Начал» Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорить об этом нужно с осторожностью. Характерная черта — наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII—IX и XI—XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего XII века шла работа по улучшению доказательств.
- Геометрия Кампано (Campanus) — комплекс рукописей 13-15 вв. В этой версии «Начала» весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, засоренный арабскими терминами (напр., параллелепипед назван belmaui). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор «Начал», и ученик Сократа философ Евклид Мегарский.
Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом[14]. Первое печатное издание «Начал»[15] было осуществлено Эрхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) в Венеции в 1482 и оно воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание, которое не копируют первое, было осуществлено Бартоломео Замберти 1505. Из предисловия известно, что Замберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.
В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Замберти[16]. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция[17], которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.
Русские переводы
Первое издание «Начал» на русском языке произошло в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя».[18] Перевод выполнил И. П. Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона (Henry Fargwarson).[19] Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто, возможно, в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого французского издания «Начал» А. Такэ (A. Tacquet).[18] Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:
- 1769 год: перевод Н. Г. Курганова «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения».
- 1784 год: перевод П. И. Суворова и В. Н. Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвертая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году). Перевели преподаватели указанного корпуса, магистры Оксфордского университета В. Н. Никитин[20] и П. И. Суворов[21].
Практически полностью (кроме 10-й книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Ф. И. Петрушевского[22]: книги 1-6 и 11-13 в 1819 году, книги 7-9 в 1835 году[23]. В 1880 году вышел перевод М. Е. Ващенко-Захарченко (см. в Викитеке). Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840-1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища[24].
Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовско́го.
Тексты «Начал»
В сети доступны следующие манускрипты и печатные издания «Начал»:
- Папирус из Oxyrhynchus.
- Византийский манускрипт D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford на www.rarebookroom.org и www.claymath.org (с перев. на англ.).
- Geometria Boetii (лат.) по изд.: M. Folkerts. Ein neuer Text des Euclides Latinus. Faksimiledruck der Handschrift Lüneburg D 4o 48, f.13-17v Hildesheim: Dr. H. A. Gerstenberg, 1970.
- Первое печатное издание «Начал» Евклида. Э. Ратдольт, 1482 г. (лат.)
- Издание 1558, в котором сравниваются издания Ратдольда и Замберти (лат.)
- Elementi Euclide. Traduzione di Niccolò Tartaglia (итал.), 1543
- Euclid. Elements. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath)
- Эвклидовых начал восемь книг в перев. Ф. Петрушевского. Книги 1-6, 11-12. (1819)
- Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949-51.
- Книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru
- Книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru
- Книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru
См. также
- Абсолютная геометрия
- Аксиома
- Алгоритм Евклида
- Евклидова геометрия
- Евклидово пространство
- Неевклидова геометрия
- Пятый постулат
Литература
- Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида // Историко-математические исследования. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — Вып. 1. — С. 296-328.
- Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 351-363.
- Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948. — Вып. 1. — С. 217-295.
- История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.
Ссылки
- Thomas L. Heath The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary.
- Euclid’s Elements in the middle ages, by M. Folkerts. Каталог средневековых латинских манускриптов.
- Early editions of Euclid’s Elements, by Charles Thomas-Stanford. Каталог ранних изданий Евклида.
Примечания
- ↑ Прокл Диадох. Ком. к Euclid I. Введение. Перев. Ю. А. Шичалина
- ↑ «Р. Rami Scholarum mathematicarum libri unus et triginta» (Франкфурт, 1559; Базель, 1569)
- ↑ «Euclidis Elementorum libri LV una cum scholiis antiquis» (1572)
- ↑ «Euclidis elementorum libri XVI cum scholiis» (1574)
- ↑ А. Эйнштейн. Физика и реальность. М.: 1965, c. 62.
- ↑ Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.
- ↑ Ch. Wolfius. Compedium elementaris Matheseos. Venetiis, 1713; см. также комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к «Началам Евклида», кн. 1-6 (М.-Л., 1950, стр. 242)
- ↑ Д. Гильберт. Основания геометрии, теорема 21.
- ↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с.
- ↑ Сабо Л. О превращении математики в дедуктивную науку и о начале её обоснования. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 321-392.
- ↑ Папирус из Oxyrhynchus
- ↑ Thomas L. Heath The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary. Vol. 1
- ↑ Euclid’s Elements in the middle ages, by M. Folkerts
- ↑ Early editions of Euclid’s Elements, by Charles Thomas-Stanford
- ↑ «Начала», первое печатное издание, 1482 г.
- ↑ Первым таким изданием было издание Лефевра, 1516; в сети доступны «Начала», издание 1558
- ↑ Это издание описано во втором томе «Geschichte der Mathematik» А. Кестнера
- ↑ 1 2 Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.
- ↑ Фарварсон // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- ↑ Никитин Василий Никитич.
- ↑ Суворов Прохор Игнатьевич.
- ↑ Петрушевский, Фома Иванович
- ↑ Выгодский, 1948, с. 218.
- ↑ Депман И. Я. Забытое издание «Начал» Евклида на русском языке // Историко-математические исследования. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — № 3. — С. 474-485.