Плотная упаковка равных сфер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация плотной упаковки равных сфер в решётки ГП (слева) и ГЦК (справа)

Плотная упаковка равных сфер — это плотное расположение одинаковых сфер в бесконечной правильной упаковке (или решётке). Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая средняя плотность, то есть наибольшая доля пространства, занятая сферами, которая может быть достигнута в решётке, равна

Та же самая плотность упаковки может быть достигнута альтернативной послойной укладкой тех же плотных упаковок сфер в плоскости, включая структуры, которые апериодичны в направлении слоёв укладки. Гипотеза Кеплера утверждает, что эта упаковка имеет наивысшую плотность среди всех возможных упаковок сфер, регулярных и нерегулярных. Эту гипотезу доказал Т.К. Хейлз[1][2]. Наивысшая плотность известна только для размерностей пространства 1, 2, 3, 8 и 24[3]

Многие кристаллы имеют структуру плотной упаковки одного типа атомов или плотную упаковку больших ионов с меньшими ионами, заполняющими пространство между ними. Кубическое и шестиугольное расположение очень близки по энергии и трудно предугадать, какую форму кристалл примет.

Решётки ГЦК и ГП[править | править вики-текст]

ГЦК-упаковка, рассматриваемая в направлении осей симметрии 4-ого порядка
ГЦК ГП
Cuboctahedron B2 planes.png Cuboctahedron 3 planes.png Triangular orthobicupola wireframe.png
ГЦК-упаковка может быть ориентирована в двух различных плоскостях как квадратная или треугольная. Это можно видеть по кубооктаэдру с 12 вершинами, представляющими положения центров 12 сфер вокруг центральной сферы. ГП-упаковку можно рассматривать как треугольную, в которой позиции сфер находятся в вершинах трехскатного прямого бикупола[en].

Существует два простые регулярные решётки, на которых достигается эта средняя плотность. Они называются гранецентрированная кубическая (ГЦК) (или кубическая плотная упаковка) и шестиугольная плотная упаковка (ГП = Гексагональная плотноупакованная ячейка), в зависимости от симметрий решётки. Обе решётки основываются на слоях сфер с центрами в вершинах треугольной мозаики. Решётки отличаются положением листов относительно друг друга.

ГЦК-решётка в математике известна как решётка, генерируемая системой корней A3[4]. В английской литературе данный вид ячейки называется face-centered cubic (fcc).

ГП (иногда используется ГПУ) называют также гексагональной сингонией. Данная элементарная ячейка встречается, к примеру, у титана как низкотемпературная его фаза (высокотемпературная фаза — ОЦК). В английской литературе данный вид ячейки назывется hexagonal close-packed (hcp)

Задача об укладке пушечных ядер[править | править вики-текст]

Пушечные ядра, сложенные в треугольную пирамиду (впереди) и квадратную пирамиду (сзади), обе укладки являются гранецентрированными кубическими решётками.

Задачу плотной упаковки сфер первым математически проанализировал Томас Хэрриот около 1587 после того, как задачу складирования пушечных ядер поставил ему сэр Уолтер Рэли перед экспедицией в Америку[5]. Пушечные ядра обычно укладывались в прямоугольные или треугольные деревянные каркасы, образуя трёхсторонние или четырёхсторонние пирамиды. Обе укладки дают гранецентрированную кубическую решётку и отличаются лишь ориентацией относительно основания. Шестиугольная плотная упаковка приводит к шестиугольной пирамиде.

Снежные шары, уложенные для игры в Снежки. Передняя пирамида является шестиугольной плотной упаковкой, задняя — гранецентрированная кубическая.

Задача об укладке пушечных ядер спрашивает, какое число пушечных ядер, которые можно уложить в один слой в виде квадрата, можно сложить в пирамиду. Эдуард Люка сформулировал задачу в форме диофантова уравнения или и высказал гипотезу, что это уравнение имеет только два решения N = 1, M = 1 и N = 24, M = 70.

Расположение и незаполненное пространство[править | править вики-текст]

Как в ГЦК, так и в ГП укладках каждая сфера имеет двенадцать соседей. Для сферы существует пустое пространство, окружённое шестью сферами (октаэдральное) и два меньших пространства, окружённых четырьмя сферами (тетраэдральные). Расстояния до центров этих пустых пространств от центров окружающих сфер равно 32 для тетраэдральных и 2 для эктаэдральных пространств, если радиус сферы равен 1.

Относительно уровня с шаром A (см. рисунок ниже) возможны различные положения шаров B и C. Любая последовательность позиций A, B и C по слоям без повторения в соседних слоях возможна и даёт упаковку той же плотности.

Наиболее правильные упаковки

  • ГЦК = ABCABCA (уровни совпадают через два)
  • ГП = ABABABA (уровни совпадают через один).

Имеется несчётное число нерегулярных расположений плоскостей (т.е. ABCACBABABAC...), которые иногда называются «упаковками Барлоу», по имени кристаллографа Уильяма Барлоу[en][6].

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости xy равно диаметру сферы. Расстояние между центрами сфер в проекции на ось z (вертикальную) равно

где d — диаметр сферы. Это следует из тетраэдрального расположения сфер в плотной упаковке.

Координационное число ГЦК и ГП упаковок равно 12, а их атомные коэффициенты упаковки[en] равны упомянутому выше числу 0,74.

Сравнение ГЦК и ГП упаковок
Close packing.svg
Рисунок 1 – ГП решётка (слева) и ГЦК решётка (справа). Контур соответствующих решёток Браве показан красным. Буквы показывают, какие слои в упаковке совпадают (нет сдвига). Есть два слоя "A" в ГП матрице, в которых сферы находятся в тех же позициях. Все три уровня ГЦК упаковки различны. Заметим, что ГЦК упаковку можно перевести в ГП упаковку путём сдвига верхнего слоя как показано пунктирной линией.
Hexagonal close-packed unit cell.jpg Close-packed spheres, with umbrella light & camerea.jpg
Рисунок 2 – Показана укладка одиннадцати шаров ГП решётки, показанной на рисунке 1. ГП-укладка отличается от верхних трёх слоёв ГЦК укладки на рисунке 3 только нижним слоем. Она может быть преобразована в ГЦК-укладку путём вращения или сдвига. Рисунок 3Томас Хэрриот, ориентировочно 1585 год, предпринял первое размышление с точки зрения математики об укладке пушечных ядер, рассматривая ГЦК-решётки. Заметьте, как смежные шары вдоль каждого ребра правильного тетраэдра расположены относительно друг друга, и сравните с ГП упаковкой на рисунке 2.

Построение решётки[править | править вики-текст]

Когда образуется любая решётка упаковки шаров, следует заметить, что если две сферы касаются, может быть проведена прямая из центра одной сферы в центр другой сферы и эта прямая проходит через точку касания. Расстояние между центрами — кратчайший путь между точками — как раз находится на этой прямой, поэтому это расстояние равно r1 + r2 где r1 — радиус одной сферы, а r2 — радиус другой. В плотной упаковке все сферы имеют один радиус r, так что расстояние между центрами равно просто 2r.

Простая ГП-решётка[править | править вики-текст]

Анимация построения решётки плотной упаковки. Замечание: Если шары третьего уровня (уровень не показан) находится прямо над шарами первого уровня, то получим ГП-решётку. Если шары третьего уровня расположены над промежутками между шарами первого уровня, то получим ГЦК-решётку.

Для образования A-B-A-B-... шестиугольной плотной упаковки сфер, координаты точек решётки будут центрами шаров упаковки. Предположим, что целью является заполнение коробки сферами согласно схеме ГП. Коробка располагается в системе координат x-y-z.

Сначала образуем ряд сфер, их центры будут лежать на одной прямой. Их x-координаты будут меняться на величину 2r, поскольку расстояние между центрами двух соприкасающихся сфер равно 2r. Для этих шаров y-координаты и z-координаты будут одинаковыми. Для простоты положим, что y- и z-координаты шаров первого ряда равны r, что соответствует расположению шаров на плоскостях с нулевыми y- и z-координатами. Таким образом, координаты шаров первого ряда будут выглядеть как (2rrr), (4rrr), (6r ,rr), (8r ,rr), ... .

Теперь формируем второй ряд сфер. Снова — центры будут лежать на прямой и x-координаты будут отличаться на 2r, но шары будут сдвинуты по оси, так что x-координаты центров будут равны координатам точек соприкосновения шаров первого ряда, что позволяет шарам второго ряда находиться ближе к шарам первого. Поскольку новые сферы касаются двух сфер, их центры образуют равносторонние (правильные) треугольники с центрами соседних шаров. Все длины сторон будут равны 2r, так что разница между рядами по y-координате будет составлять 3r. То есть вторая строка будет иметь координаты:


Следующая строка сфер следует этому шаблону, сдвигая ряд по оси x на величину r и по оси y на 3. Добавляем ряды, пока не достигнем границы ящика.

В упаковке A-B-A-B-... плоскости сфер с нечётными номерами будут иметь в точности те же координаты x- и y, меняются только z-координаты, что верно и для чётных плоскостей. Оба вида плоскостей образуются по той же самой схеме, но начальное положение первой сферы первой строки будет отличаться.

Используем построение, описанное выше, как слой A. Поместим сферу поверх этого слоя так, что она касается трёх сфер слоя A. Эти три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник. Поскольку эти три сферы касаются добавленной сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр[7], все стороны которого равны 2r. Высота этого тетраэдра является разностью z-координаты между двумя слоями и равна . Комбинация с x- и y-координатами даёт центры первого ряда плоскости B:

Координаты второго ряда следуют схеме, описанной выше:

Разность z-координат до следующего A-слоя, снова равна , а x- и y-координаты равны координатам первого A-слоя[8].

В общем случае координаты центров можно записать в виде:

где i, j и k индексы по координатам x, y и z (начинающиеся с нуля).

Индексы Миллера[править | править вики-текст]

Индекс Миллера — Браве для решётки ГП

Кристаллографические свойства укладки ГП, такие как семейства векторов и атомных плоскостей, могут быть описаны с помощью четырёхсимвольного индекса Миллера ( hkil ) в котором третий элемент i означает удобную, но вырожденную компоненту, равную −h − k. Угол между компонентами h, i и k индекса составляет 120°, так что они не ортогональны. Компонента l перпендикулярна всем трём направлениям h, i и k.

Заполнение оставшегося пространства[править | править вики-текст]

ГЦК и ГП упаковки являются наиболее плотными известными упаковками одинаковых сфер с максимальной симметрией (наименьшей единицей повторения). Более плотные упаковки шаров известны, но в них используются сферы разных диаметров. Для упаковок с плотностью 1, заполняющих пространство полностью, требуется несферические тела, такие как соты.

Если заменить каждую точку соприкосновения двух сфер ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, получим тетраэдры и октаэдры с равными длинами сторон. ГЦК укладка даёт тетраэдрально-октаэдральные соты[en]. ГП укладка даёт повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[en]. Если, вместо этого, любая сфера расширяется точками, которые ближе к ней, чем к любой другой сфере, получаются двойственные соты — ромбододекаэдральные соты[en] для ГЦК и трапециеромбические додекаэдральные соты[en]для ГП.

Сферические пузырьки в мыльной воде по схеме ГЦК или ГП, когда вода между пузырьками высыхает, также принимают форму ромбододекаэдральных[en] или трапециеромбических додекаэдральны сот[en]. Однако такие ГЦК или ГП пены с очень малым содержанием жидкости нестабильны, поскольку для них не выполняется закон Платэ[en]. Пена Кельвина и структура Уэйра и Пелана[en] более устойчивы, имея меньшую межграневую энергию при малом количестве жидкости[9].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hales, T. C. (1998), "An overview of the Kepler conjecture", arΧiv:math/9811071v2 
  2. Szpiro, 2003, с. 12–13.
  3. Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017.
  4. Conway, Sloane, 1998, с. Section 6.3.
  5. David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science.
  6. Barlow, 1883, с. 186–188.
  7. Grunch.net.
  8. Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  9. Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner и др., 2013.

Литература[править | править вики-текст]

Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Foams, Structure and Dynamics. — Oxford: Oxford University Press, 2013. — ISBN 9780199662890.

Ссылки[править | править вики-текст]