Плотная упаковка равных сфер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация плотной упаковки равных сфер в решётки ГП (слева) и ГЦК (справа)

Плотная упаковка равных сфер — такое расположение одинаковых неперекрывающихся сфер в пространстве, при котором занимаемая внутренними областями этих сфер доля пространства (плотность упаковки) максимальна, а также задача комбинаторной геометрии о поиске этой упаковки[1].

Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая плотность упаковки, которая может быть достигнута простой регулярной упаковкой (решёткой), равна

Эта плотность достигается в упаковках в ГЦК и ГП решётки. Гипотеза Кеплера утверждает, что эта упаковка имеет наивысшую плотность среди всех возможных упаковок сфер, регулярных и нерегулярных. Эту гипотезу доказал Т.К. Хейлз после многолетнего труда по программированию вычислений, необходимых для доказательства[2][3].

Решётки ГЦК и ГП[править | править код]

ГЦК-упаковка, рассматриваемая в направлении осей симметрии 4-го порядка
Отдельный слой плотной упаковки
ГЦК ГП
Cuboctahedron B2 planes.png Cuboctahedron 3 planes.png Triangular orthobicupola wireframe.png
ГЦК-упаковка может быть ориентирована по-разному, и в зависимости от ориентации отдельный её слой имеет квадратную или треугольную упаковку. Это можно видеть по кубооктаэдру с 12 вершинами, представляющими положения центров 12 сфер вокруг центральной сферы. ГП-упаковку можно рассматривать как слои, упакованные в треугольную упаковку, где сферы соседнего слоя находятся в вершинах трехскатного прямого бикупола[en], проходящего через центры сферы данного слоя.

Существует два простые регулярные решётки, на которых достигается максимальная средняя плотность. Они называются гранецентрированная кубическая (ГЦК) (или кубическая плотная упаковка) и шестиугольная плотная упаковка (ГП или ГПУ = Гексагональная плотноупакованная ячейка или решётка), в зависимости от симметрий решётки. Обе решётки основываются на слоях сфер с центрами в вершинах треугольной мозаики. Обе решётки можно представить как стопку одинаковых листов, внутри которых сферы уложены в треугольную решётку (плотноупакованных слоёв); ГЦК и ГП отличаются положением этих листов относительно друг друга.

ГЦК решётка в математике известна как решётка, генерируемая системой корней A3[4]. В англоязычной литературе данный вид ячейки называется face-centered cubic (fcc). ГП решётка в англоязычной литературе назывется hexagonal close-packed (hcp).

Расположение и незаполненное пространство[править | править код]

Взяв за точку отсчёта один из плотноупакованных слоёв шаров, можно разделить остальные на различные типы в зависимости от того, как они расположены относительного первого слоя в смысле горизонтального сдвига. Таких типов три, и их принято обозначать A, B и C.

Относительно уровня с шаром A (см. рисунок ниже) возможны различные положения шаров B и C. Любая последовательность позиций A, B и C по слоям без повторения в соседних слоях возможна и даёт упаковку той же плотности.

Наиболее правильные упаковки

  • ГЦК = ABCABCA (уровни совпадают через два)
  • ГП = ABABABA (уровни совпадают через один).

Тем не менее, та же самая плотность упаковки может быть достигнута альтернативной послойной укладкой тех же плотных упаковок сфер в плоскости, включая структуры, которые апериодичны в направлении слоёв укладки. Имеется несчётное число нерегулярных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC...), которые иногда называются «упаковками Барлоу», по имени кристаллографа Уильяма Барлоу[en][5].

Сравнение ГЦК и ГП упаковок
Close packing.svg
ГП упаковка (слева) и ГЦК упаковка (справа). Контуры соответствующих решёток Браве показаны красным. Буквы показывают, какие слои в упаковке совпадают (не сдвига относительно друг друга в горизонтальной плоскости): так, в ГП упаковке над слоем A находится слой B, а над ним — вновь слой A, в котором сферы находятся на тех же позициях, что и на других слоях A. ВГЦК упаковке показано три слоя, и все они различны: над слоем A находится B, над B — C, и лишь над C снова будет A. Заметим, что ГЦК упаковку можно перевести в ГП упаковку путём сдвига слоёв, как показано пунктирной линией.
Hexagonal close-packed unit cell.jpg Close-packed spheres, with umbrella light & camerea.jpg
Показана укладка одиннадцати шаров ГП решётки. ГП-укладка отличается от верхних трёх слоёв ГЦК укладки на правом рисунке только нижним слоем. Она может быть преобразована в ГЦК-укладку путём вращения или сдвига одного из слоёв. В реальном кристалле большого размера такое тоже может произойти при определённых условиях (это будет фазовый переход). Несколько слоёв ГЦК-укладки. Заметьте, как смежные шары вдоль каждого ребра правильного тетраэдра расположены относительно друг друга, и сравните с ГП упаковкой на левом рисунке.

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости плотноупакованного слоя равно диаметру сферы. Расстояние между центрами сфер в проекции на ось, перпендикулярную плотноупакованному слою, равно

где d — диаметр сферы. Это следует из тетраэдрального расположения сфер в плотной упаковке.

Как в ГЦК, так и в ГП укладках каждая сфера имеет двенадцать соседей (иными словами, координационное число для любой сферы в них равно 12). Вокруг сферы существуют пустые области, окружённые шестью сферами (октаэдрические), и меньшие пустые области, окружённые четырьмя сферами (тетраэдрические). Расстояния до центров этих пустых областей от центров окружающих сфер равно 32 для тетраэдрических и 2 для октаэдрических[источник не указан 91 день] пространств, если радиус сферы равен 1. ГЦК упаковка получается, если в очередном слое помещать шары над октаэрическими пустотами, ГП — над некоторыми тетраэдрическими.

Построение решётки[править | править код]

Когда образуется любая решётка упаковки шаров, следует заметить, что если две сферы касаются, может быть проведена прямая из центра одной сферы в центр другой сферы и эта прямая проходит через точку касания. Расстояние между центрами — кратчайший путь между точками — как раз находится на этой прямой, поэтому это расстояние равно r1 + r2 где r1 — радиус одной сферы, а r2 — радиус другой. В плотной упаковке все сферы имеют один радиус r, так что расстояние между центрами равно просто 2r.

Простая ГП-решётка[править | править код]

Анимация построения решётки плотной упаковки. Замечание: Если шары третьего уровня (уровень не показан) находится прямо над шарами первого уровня, то получим ГП-решётку. Если шары третьего уровня расположены над промежутками между шарами первого уровня, то получим ГЦК-решётку.

Для образования A-B-A-B-... шестиугольной плотной упаковки сфер, координаты точек решётки будут центрами шаров упаковки. Предположим, что целью является заполнение коробки сферами согласно схеме ГП. Коробка располагается в системе координат x-y-z.

Сначала образуем ряд сфер, их центры будут лежать на одной прямой. Их x-координаты будут меняться на величину 2r, поскольку расстояние между центрами двух соприкасающихся сфер равно 2r. Для этих шаров y-координаты и z-координаты будут одинаковыми. Для простоты положим, что y- и z-координаты шаров первого ряда равны r, что соответствует расположению шаров на плоскостях с нулевыми y- и z-координатами. Таким образом, координаты шаров первого ряда будут выглядеть как (2rrr), (4rrr), (6r ,rr), (8r ,rr), ... .

Теперь формируем второй ряд сфер. Снова — центры будут лежать на прямой и x-координаты будут отличаться на 2r, но шары будут сдвинуты по оси, так что x-координаты центров будут равны координатам точек соприкосновения шаров первого ряда, что позволяет шарам второго ряда находиться ближе к шарам первого. Поскольку новые сферы касаются двух сфер, их центры образуют равносторонние (правильные) треугольники с центрами соседних шаров. Все длины сторон будут равны 2r, так что разница между рядами по y-координате будет составлять 3r. То есть вторая строка будет иметь координаты:


Следующая строка сфер следует этому шаблону, сдвигая ряд по оси x на величину r и по оси y на 3. Добавляем ряды, пока не достигнем границы ящика.

В упаковке A-B-A-B-... плоскости сфер с нечётными номерами будут иметь в точности те же координаты x- и y, меняются только z-координаты, что верно и для чётных плоскостей. Оба вида плоскостей образуются по той же самой схеме, но начальное положение первой сферы первой строки будет отличаться.

Используем построение, описанное выше, как слой A. Поместим сферу поверх этого слоя так, что она касается трёх сфер слоя A. Эти три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник. Поскольку эти три сферы касаются добавленной сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр[6], все стороны которого равны 2r. Высота этого тетраэдра является разностью z-координаты между двумя слоями и равна . Комбинация с x- и y-координатами даёт центры первого ряда плоскости B:

Координаты второго ряда следуют схеме, описанной выше:

Разность z-координат до следующего A-слоя, снова равна , а x- и y-координаты равны координатам первого A-слоя[7].

В общем случае координаты центров можно записать в виде:

где i, j и k индексы по координатам x, y и z (начинающиеся с нуля).

Варианты и обобщения[править | править код]

Наиболее эффективный способ упаковать круги разного размера не так уж очевиден

Пространства иных размерностей[править | править код]

Можно рассмотреть аналогичную задачу плотной упаковки гиперсфер (или окружностей) в евклидовом пространстве размерности, отличной от 3. В частности, двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружён шестью другими. Именно из таких слоёв построены ГЦК и ГП упаковки. Плотность данной упаковки:

[1].
Оптимальная упаковка кругов на плоскости

В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

В 2016 году украинский математик Марина Вязовская решила задачу об упаковке шаров в пространствах старших размерностей — восьмимерном[8][9][10] и, в соавторстве, в 24-мерном[11][12]. Решение Вязовской восьмимерного случая занимает всего 23 страницы и является «ошеломляюще простым»[12] по сравнению с 300-страничным текстом и использованием 50 000 строчек программного кода при изложении доказательства гипотезы Кеплера[13] для трёхмерного пространства.

Наивысшая плотность известна только для размерностей пространства 1 (укладка вплотную), 2 (треугольная решётка), 3 (ГЦК, ГП и другие упаковки, построенные из слоёв треугольной решётки), 8 (решётка E8) и 24 (решётка Лича)[14].

Заполнение оставшегося пространства[править | править код]

ГЦК и ГП упаковки являются наиболее плотными известными упаковками одинаковых сфер с максимальной симметрией (наименьшей единицей повторения). Более плотные упаковки шаров известны, но в них используются сферы разных диаметров. Для упаковок с плотностью 1, заполняющих пространство полностью, требуется несферические тела, такие как соты, либо бесконечное количество сфер в конечном объёме (сетка Аполлония).

Соты[править | править код]

Если заменить каждую точку соприкосновения двух сфер ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, получим тетраэдры и октаэдры с равными длинами сторон. ГЦК укладка даёт тетраэдрально-октаэдральные соты[en]. ГП укладка даёт повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[en]. Если, вместо этого, любая сфера расширяется точками, которые ближе к ней, чем к любой другой сфере, получаются двойственные соты — ромбододекаэдральные соты[en] для ГЦК и трапециеромбические додекаэдральные соты[en]для ГП.

Сферические пузырьки в мыльной воде по схеме ГЦК или ГП, когда вода между пузырьками высыхает, также принимают форму ромбододекаэдральных[en] или трапециеромбических додекаэдральны сот[en]. Однако такие ГЦК или ГП пены с очень малым содержанием жидкости нестабильны, поскольку для них не выполняется закон Платэ[en]. Пена Кельвина и структура Уэйра и Пелана[en] более устойчивы, имея меньшую межграневую энергию при малом количестве жидкости[15].

Плотная упаковка шаров в жизни[править | править код]

Размещение плодов апельсина в ГП упаковке.
Снежные шары, уложенные для игры в снежки. В передней пирамиде снежки уложены в шестиугольную плотную упаковку, в задней — в гранецентрированную кубическую.

Многие кристаллы имеют структуру плотной упаковки одного типа атомов или плотную упаковку больших ионов с меньшими ионами, заполняющими пространство между ними. Как правило, кубическое и шестиугольное расположение очень близки по энергии, и трудно предугадать, какую форму кристалл примет.

Томас Хэрриот около 1585 года предпринял первое размышление с точки зрения математики об укладке шаров в контексте укладки пушечных ядер и рассмотрел ГЦК решётку: пушечные ядра обычно укладывались в прямоугольные или треугольные деревянные каркасы, образуя трёхсторонние или четырёхсторонние пирамиды; обе укладки дают гранецентрированную кубическую решётку и отличаются лишь ориентацией относительно основания. Шестиугольная плотная упаковка приводит к шестиугольной пирамиде. В связи с укладкой пушечных ядер известна и одноимённая задача теории чисел.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Слоэн Н. Дж. А. Упаковка шаров // В мире науки. — 1984. — № 3. — С. 72-82.
  2. Hales, T. C. (1998), "An overview of the Kepler conjecture", arΧiv:math/9811071v2 
  3. Szpiro, 2003, с. 12–13.
  4. Conway, Sloane, 1998, с. Section 6.3.
  5. Barlow, 1883, с. 186–188.
  6. Grunch.net.
  7. Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  8. Kevin Knudson. Stacking Cannonballs In 8 Dimensions (англ.) // Forbes. — 2016. — 29 March.
  9. Frank Morgan. Sphere Packing in Dimension 8 (англ.) // The Huffington Post. — 2016. — 21 March.
  10. Andreas Loos. So stapeln Mathematiker Melonen (нем.) // Die Zeit. — 2016. — 21 Märzes.
  11. Lisa Grossman. New maths proof shows how to stack oranges in 24 dimensions (англ.) // New Scientist. — 2016. — 28 March.
  12. 1 2 Erica Klarreich. Sphere Packing Solved in Higher Dimensions (англ.) // Quanta: Magazine. — 2016. — 30 March.
  13. Natalie Wolchover. In Computers We Trust? (англ.) // Quanta: Magazine. — 2013. — 22 February.
  14. Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017.
  15. Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner и др., 2013.

Литература[править | править код]

  • George Szpiro Mathematics: Does the proof stack up? // Nature. — 2003. — Июль (т. 424). — DOI:10.1038/424012a.
  • Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska The sphere packing problem in dimension 24. — 2017. — Февраль. — arXiv:1603.06518v2.
  • John Horton Conway, Neil James Alexander Sloane. Section 6.3 // Sphere packings, lattices, and groups. — Springer, 1998. — Т. 290. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-98585-9.
  • William Barlow Probable Nature of the Internal Symmetry of Crystals // Nature. — 1883. — Т. 29.
  • on Sphere Packing. Grunch.net. Проверено 12 июня 2014.
  • Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Foams, Structure and Dynamics. — Oxford: Oxford University Press, 2013. — ISBN 9780199662890.

Ссылки[править | править код]