Соты (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник[en] можно спроецировать на его описанную сферу[en], что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Можно заполнить пространство многоугольниками, которые не имеют общих вершин, например, с помощью кирпичной укладки. Такая укладка не является правильной мозаикой, поскольку углы лежат на сторонах соседнего многоугольника. Также и в правильных сотах, не должно быть рёбер или вершин, лежащих внутри (или частично на) грани. Заметим, что если мы интерпретируем каждый кирпич как шестиугольник, имеющий внутренний угол 180 градусов, мы можем принять такую укладку как правильную мозаику. Однако не все геометры принимают такие шестиугольники.

Классификация[править | править код]

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла[en] и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты[править | править код]

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников[en] имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве[1], называемых также архимедовыми сотами[en].

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тип Кубические соты Квазиправильные соты
Ячейки Кубические Октаэдральные и тетраэдральные
Слой Cubic semicheck.png Tetroctahedric semicheck.png

Тетраэдрально-октаэдральные соты[en] и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[en] состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники[править | править код]

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных[en] или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках[2].

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками[en]:

  1. Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
  2. Шестиугольные призматические соты[en][3];
  3. Ромбододекаэдральные соты[en];
  4. Удлинённые додекаэдральные соты[en][4];
  5. Соты из глубокоусечённых кубов[en][5].
Rhombohedral prism honeycomb.png
Кубические соты
Skew hexagonal prism honeycomb.png
Шестиугольные призматические соты[en]
Rhombic dodecahedra.png
Ромбододекаэдр[en]
Elongated rhombic dodecahedron honeycomb.png
Удлинённый ромбододекаэдр[en]
Truncated octahedra.png
Усечённый октаэдр[en]
Куб
(параллелепипед)
Шестиугольная призма Ромбододекаэдр Удлинённый додекаэдр[en] Усечённый октаэдр
Parallelohedron edges cube.png Parallelohedron edges hexagonal prism.png Parallelohedron edges rhombic dodecahedron.png Parallelohedron edges elongated rhombic dodecahedron.png Parallelohedron edge truncated octahedron.png
3 длины рёбер 3+1 длины рёбер 4 длины рёбер 4+1 длины рёбер 6 длины рёбер

Другие известные примеры:

Другие соты с двумя и более многогранниками[править | править код]

Иногда два[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана[en], заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата[10].

12-14-hedral honeycomb.png
Структура Уэйра-Фелана[en] (с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты[править | править код]

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

  • Невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников. Они включают упаковку[en] малые звёздчатые ромбические додекаэдры[en] как в кубе Ёшимото[en].
  • Мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

Гиперболические соты[править | править код]

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот[en] и много однородных гиперболических сот[en].

Двойственность сот в трёхмерном пространстве[править | править код]

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.
граней на рёбра.

Для правильных сот:

  • Кубические соты самодвойственны.
  • Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
  • Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
  • Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда[11].

Самодвойственные соты[править | править код]

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n−2,4} самодвойственны.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Grünbaum, 1994.
  2. Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. [1] Однородные заполняющие пространство призмы на основе треугольника, квадрата и шестиугольника
  4. [2] Однородные заполняющие пространство ромбо-шестиугольные додекаэдры
  5. [3] Однородные заполняющие пространство усечённые октаэдры
  6. Voronoi Polyhedron
  7. Qian, Strahs, Schlick, 2001, с. 1843–1850.
  8. Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005, с. 358—362.
  9. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения 16 мая 2012. Архивировано 30 июня 2015 года. Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
  10. Pauling, 1960.
  11. Inchbald, 1997, с. 213–219.

Литература[править | править код]

  • H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
  • K. Critchlow. Order in space. — New York: Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
  • Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вып. 4(2).
  • P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London: MIT press, 1978.
  • Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вып. 15.
  • O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вып. A61.
  • Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
  • G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вып. 81, July.

Ссылки[править | править код]