Исчисление Ламбека

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Исчисление Ламбека (англ. Lambek calculus, обозначается ) — формальная логическая система, предложенная в 1958 году Иоахимом Ламбеком[en][1], которая предназначена для описания синтаксиса естественных языков. С математической точки зрения исчисление Ламбека является фрагментом линейной логики[en].

Формальное определение[править | править код]

Исчисление Ламбека можно определить несколькими эквивалентными способами. Ниже представлено определение секвенциального исчисления Ламбека в генценовском виде.

Исчисление Ламбека работает с типами (с точки зрения лингвистики, типы соответствуют определённым категориям слов). Фиксируется множество , элементы которого называются примитивными типами. Из них строится множество всех типов. Формально, множество типов исчисления Ламбека — это наименьшее множество, содержащее и удовлетворяющее следующему свойству: если , — типы, то , , (скобки часто опускаются) также являются типами. Операции , и называются левым делением, правым делением и умножением соответственно.

Примитивные типы принято обозначать строчными латинскими буквами, типы — заглавными латинскими буквами, последовательности типов — заглавными греческими буквами (, и т. п.).

Секвенцией называется строка вида , где , а — типы исчисления Ламбека. Часть слева от стрелки называется антецедентом, а часть после стрелки — сукцедентом.

Аксиомы и правила исчисления Ламбека объясняют, какие секвенции являются выводимыми. Единственная аксиома (точнее, схема аксиом) имеет вид:

В исчислении Ламбека имеется 6 правил вывода, по два на каждую операцию[2]:

Секвенция называется выводимой, если её можно получить из аксиом путём применения правил. Соответствующая цепочка аксиом и применений правил называется выводом. Факт выводимости обозначается как .

Примеры выводимых секвенций[править | править код]

  • Секвенция (называемая поднятием типа ) выводима в исчислении Ламбека:

  • Секвенция выводима в исчислении Ламбека:

  • .
  • , .

Категориальные грамматики Ламбека[править | править код]

Понятие категориальных грамматик Ламбека относится к теории формальных грамматик; они представляют собой частный случай категориальных грамматик. Рассматривается конечное непустое множество , называемое алфавитом. — множество всех строк конечной длины, которые можно составить из символов алфавита ; любое подмножество этого множества называется формальным языком.

Категориальная грамматика Ламбека — структура из 3 компонент:

  1. — алфавит;
  2. — выделенный тип в грамматике;
  3. — конечное бинарное отношение, ставящее в соответствие каждому символу алфавита конечное число типов исчисления Ламбека.

Язык, распознаваемый грамматикой , — это множество слов вида , таких, что для каждого символа существует соответствующий ему тип (это означает, что ) и .

Пример. Пусть , — примитивный тип, а отношение задано следующим образом , , . Такая грамматика распознает язык . Например, слово принадлежит языку, распознаваемому данной грамматикой, поскольку ему соответствует выводимая секвенция .

Примеры из лингвистики[править | править код]

Если в качестве взять множество слов некоторого естественного языка, появится возможность использовать грамматики Ламбека для описания множества предложений этого языка (или его части). Ставится задача поиска грамматики, которая бы распознавала в точности грамматически верные предложения данного языка или хотя бы корректно описывала некоторые интересующие лингвистов языковые явления. Частные примеры выводимых секвенций, соответствующих грамматически верным предложениям, приведены ниже.

  • Английскому предложению John loves Mary "Джон любит Мэри" можно поставить в соответствие секвенцию [3]. Здесь именам собственным John, Mary соответствует примитивный тип "noun phrase", обозначающий именные группы, а переходному глаголу loves соответствует сложный тип . Примитивный тип "sentence" соответствует повествовательным предложениям. Данная секвенция выводима в исчислении Ламбека:

  • Более сложному английскому предложению John loves but Bill hates Mary "Джон любит, а Билл ненавидит Мэри" ставится в соответствие выводимая секвенция [4].

Чтобы связать примеры выше с данным в начале раздела формальным определением категориальных грамматик, возьмём в качестве выделенного типа примитивный тип , а отношение определим так, чтобы словам в английских предложениях выше сопоставлялись соответствующие им в рассмотренных секвенциях типы. Тогда предложения John loves Mary, John loves but Bill hates Mary будут принадлежать языку, распознаваемому данной грамматикой.

Свойства[править | править код]

  • В исчислении Ламбека допустимо правило сечения[1]. Иначе говоря, из выводимости секвенций вида и следует выводимость секвенции .
  • Класс языков, порождаемых грамматиками Ламбека, совпадает с классом контекстно-свободных языков без пустого слова[5].
  • Задача проверки выводимости секвенции в исчислении Ламбека NP-полна[6].
  • Исчисление Ламбека корректно и полно относительно моделей полугрупп с делением, причём существует универсальная модель. Также оно полно относительно -моделей (языковые модели, англ. language models), и относительно -моделей (реляционные модели, англ. relational models) [7].
  • В исчисление Ламбека можно добавить аппарат лямбда-исчисления, так что выводы в исчислении Ламбека будут сопровождаться преобразованиями лямбда-типов[8]. С лингвистической точки зрения это позволяет моделировать семантику предложений.

Модификации[править | править код]

Существует ряд вариантов исчисления Ламбека, основанных на добавлении операций, отличных от делений и умножения, и добавлении новых аксиом и правил вывода. Ниже рассмотрены некоторые из вариантов.

  • Исчисление Ламбека с единицей (). В нём допускаются секвенции вида (у которых 0 типов в антецеденте). В набор допустимых символов, из которых строятся типы, добавляется единица (). Для неё вводятся одна аксиома и одно правило:

  • Мультипликативно-аддитивное исчисление Ламбека (multiplicative-additive Lambek calculus) — расширение , в рамках которого типы строятся не только с помощью делений и умножения, но и с помощью конъюнкции и дизъюнкции . Для них вводятся следующие 6 правил:

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]