Список логических символов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В логике обычно используется много символов для выражения логических сущностей. Поскольку логики знакомы с этими символами, они не объясняют их каждый раз при использовании. Для студентов, изучающих логику, следующая таблица перечисляет большинство общеупотребимых символов вместе с их именами и связанными областями математики. Кроме того, третий столбец содержит неформальное определение, пятый и шестой дают код Unicode и имя для использования в HTML документах[1]. Последний столбец даёт символ в системе LaTeX.

Учитывайте, что вне логики данные символы, в зависимости от контекста, могут иметь другие значения.

Основные логические символы[править | править код]

Символ
Название Объяснение Примеры Значение
Unicode
Название в
HTML
Символ
LaTeX
Читается как
Категория




Импликация AB верно, только когда либо A ложно, либо B истинно.

→ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов).

⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).
x = 2  ⇒  x2 = 4 истинно, но x2 = 4   ⇒  x = 2, в общем случае, ложно (поскольку x может быть равен −2). U+21D2

U+2192

U+2283
⇒

→

⊃
\Rightarrow
\to
\supset
\implies
из .. следует; если .. то
логика высказываний, алгебра Гейтинга[en]




Тогда и только тогда A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны. x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y U+21D4

U+2261

U+2194
⇔

≡

↔
\Leftrightarrow
\equiv
\leftrightarrow
\iff
тогда и только тогда
логика высказываний
¬

˜

!
отрицание Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно.

Знак /, расположенный поверх другого оператора, означает то же самое, что «¬», помещённое перед выражением.
¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y  ⇔  ¬(x = y)
U+00AC

U+02DC
¬

˜

~
\lnot или \neg
\sim
not (не)
логика высказываний




&
конъюнкция Утверждение AB истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае. n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3, если n — натуральное число. U+2227

U+0026
&and;

&amp;
\wedge или \land
\&[2]
and (и)
логика высказываний, Булева алгебра


+

ǀǀ
логическая дизъюнкция Утверждение AB верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение неверно. n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 когда n является натуральным числом. U+2228 &or; \lor или \vee
or (или)
логика высказываний, Булева алгебра



исключающее или Утверждение AB верно, когда либо A, либо B верно, но не оба. AB означает то же самое. A) ⊕ A всегда верно, AA всегда неверно. U+2295

U+22BB
&oplus; \oplus
\veebar
xor
логика высказываний, Булева алгебра



T

1
Тавтология Утверждение ⊤ безусловно верно. A ⇒ ⊤ всегда верно. U+22A4 T \top
верх
логика высказываний, Булева алгебра



F

0
Противоречие Утверждение ⊥ безусловно неверно. ⊥ ⇒ A всегда верно. U+22A5 &perp; F \bot
ложь, неверно, ошибочно
логика высказываний, Булева алгебра


()
Квантор всеобщности ∀ xP(x) или (xP(x) означает P(x) верно для всех x. ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. U+2200 &forall; \forall
для любого; для всех
Логика первого порядка
Квантор существования ∃ x: P(x) означает, что существует по меньшей мере один x, такой, что P(x) верно. ∃ n ∈ ℕ: n чётно. U+2203 &exist; \exists
существует
логика первого порядка
∃!
Единственность ∃! x: P(x) означает, что существует ровно один x, такой, что P(x) верно. ∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n. U+2203 U+0021 &exist; ! \exists !
существует в точности один
логика первого порядка
:=



:⇔
Определение x := y илиx ≡ y означает, что x является другим обозначением для y (но заметьте, что ≡ может означать и другое, как, например, конгруэнтность).

P :⇔ Q означает, что P логически эквивалентно Q.
cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x))

A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
U+2254 (U+003A U+003D)

U+2261

U+003A U+229C
:=
:

&equiv;

&hArr;
:=
\equiv
\Leftrightarrow
определяется как
везде
()
приоритетная группировка Операции внутри скобок выполняются первыми. (8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4. U+0028 U+0029 () ()
скобки
везде
Выводимо[en] xy означает, что y выводимо из x (в некоторых формальных системах). AB ⊢ ¬B → ¬A U+22A2 &#8866; \vdash
выводимо
логика высказываний, логика первого порядка
Модель[en] xy означает, что x семантически влечёт за собой y AB ⊨ ¬B → ¬A U+22A8 &#8872; \vDash
влечёт
логика высказываний, логика первого порядка

Расширенные и редко используемые символы[править | править код]

Символы отсортированы согласно коду Unicode:

  • U+00B7 • Точка в середине, устаревший способ обозначения AND[3], остаётся употребимым в электронике, например, «A•B» означает то же самое, что и «A&B»
  •  : Центральная точка с чертой над ней, устаревший способ для обозначения И-НЕ, например, «AB» означает то же, что и «A И-НЕ B», или «A|B», или «¬(A & B)». См. также символ Unicode U+22C5 ⋅ оператор точка.
  • U+0305 ◌̅ Комбинируемое надчёркивание, используется для сокращения стандартных представлений чисел (Типографическая теория чисел[en]). Например, «4̅» является сокращённым написанием стандартного числа «SSSS0».
  • Надчёркивание также иногда используется для обозначения нумерации Гёделя, например, «AVB» обозначает номер Гёделя для «(AVB)»
  • Надчёркивание также является устаревшим способом обозначения отрицания, но продолжает использоваться в электронике, например, «AVB» означает то же самое, что и «¬(AVB)»[4]
  • U+2191 ↑ Стрелка вверх или U+007C | Вертикальная черта: Штрих Шеффера, знак для оператора И-НЕ.
  • U+2201 ∁ Дополнение
  • U+2204 ∄ Не существует: перечёркнутый квантор существования, то же самое, что и «¬∃»
  • U+2234 ∴ Следовательно, таким образом, поэтому[en]
  • U+2235 ∵ Поскольку, потому что, вследствие того, что[en]
  • U+22A7 ⊧ Импликация (логическое следование): является моделью для …. Например, A ⊧ B означает, что из A следует B. В любой модели, где A ⊧ B, если А верно, то и B верно.
  • U+22A8 ⊨ Истина: является истиной.
  • U+22AC ⊬ Невыводимо: отрицание ⊢, символ невыводимо, например, TP означает, что «P не является теоремой в T»
  • U+22AD ⊭ Неверно: не является истиной
  • U+22BC ⊼ НЕ-И: другой оператор НЕ-И, может быть записан также как
  • U+22BD ⊽ ИЛИ-НЕ: оператор Исключающее ИЛИ, может быть записан также как V
  • U+22C4 ⋄ Ромб: модальный оператор для «возможно, что», «не обязательно нет» или, редко, «непротиворечиво» (в большинстве модальных логик оператор определяется как «¬◻¬»)
  • U+22C6 ⋆ Звёздочка: обычно используется как специальный оператор
  • U+22A5 ⊥ Кнопка вверх или U+2193 ↓ Стрелка вниз: стрелка Пирса, символ исключающего ИЛИ. Иногда «⊥» используется для противоречия или абсурда.
  • U+2310 ⌐ Отменённый НЕ
  • U+231C ⌜ Левый верхний уголок и U+231D ⌝ Правый верхний уголок: угловые скобки, также называемые «кавычками Куайна». Используется как квазикавычки, то есть выделение определённого контекста неопределённого выражения («переменной»)[5]. Используется также для чисел Гёделя[6]. Например, «⌜G⌝» обозначает число Гёделя для G. (Типографическое замечание: хотя кавычки появляются всегда в «паре» в (231C и 231D в Unicode), они не всегда симметричны в некоторых фонтах, а в некоторых фонтах, таких как Arial, они симметричны только при определённых размерах букв). Альтернативно кавычки могут быть представлены как ⌈ и ⌉ (U+2308 и U+2309) или с помощью символов отрицания и обратного отрицания ⌐ ¬ в верхнем индексе.)

Следующие операторы редко поддерживаются стандартными фонтами. Если вы хотите использовать их на своей странице, вам следует всегда встраивать нужные фонты, чтобы браузер мог отражать символы без необходимости устанавливать фонты на компьютер.

  • U+27E1 ⟡ Незакрашенный ромб с вогнутыми сторонами
  • U+27E2 ⟢ Незакрашенный ромб с вогнутыми сторонами и чёрточкой влево: модальный оператор для никогда не было
  • U+27E3 ⟣ Незакрашенный ромб с вогнутыми сторонами и чёрточкой вправо: модальный оператор для никогда не будет
  • U+27E4 ⟤ Незакрашенный квадрат с чёрточкой влево: модальный оператор для всегда было
  • U+27E5 ⟥ Незакрашенный квадрат с чёрточкой вправо: модальный оператор для всегда будет
  • U+297D ⥽ Хвост рыбы, направленный вправо: иногда употребляется для «связи», а также для обозначения различных случайных связей (например, для обозначения «свидетельствования» в контексте трюка Россера[en]). Рыбий хвост использовался также Льюисом (C.I.Lewis) для обозначения строгой импликации U+⥽ , соответствующий макрос LaTeX — \strictif. См. здесь изображение знака. Знак добавлен в Unicode 3.2.0.

Польша и Германия[править | править код]

В Польше квантор всеобщности иногда записывается как , а квантор существования как . То же самое наблюдается в немецкой литературе.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Named character references. HTML 5.1 Nightly. W3C. Дата обращения 9 сентября 2015.
  2. Хотя этот символ доступен в LaTeX, система MediaWiki TeX его не поддерживает.
  3. Brody, 1973, с. 93.
  4. См., например, [1]
  5. Quine, W.V. (1981): Mathematical Logic, § 6
  6. Hintikka, 1998, с. 113.
  7. Беклемишев Л. Д. Что такое логика доказуемости, Летняя школа «Современная математика», 2013

Литература[править | править код]

  • Baruch A. Brody. Logic: theoretical and applied. — Prentice-Hall, 1973. — ISBN 9780135401460.
  • Jaakko Hintikka. The Principles of Mathematics Revisited. — Cambridge University Press, 1998. — ISBN 9780521624985.

Литература для дальнейшего чтения[править | править код]

  • Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, trans., Otto Bird, from the French and German editions, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.

Ссылки[править | править код]