Конформное отображение

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Определение

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики $g,{\tilde {g}}$ на гладком многообразии $M$ называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция $\psi :M\to \mathbb {R}$ такая что ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$. В этом случае функция $e^{\psi }$ называется конформным фактором ${\tilde {g}}$.

Свойства

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ при $n\geq 3$ можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если ${\tilde {g}}$ и $g$ — конформноэквивалентные метрические тензоры, то

  ${\tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

где ${\tilde {W}}$ и $W$ обозначают тензоры Вейля для ${\tilde {g}}$ и $g$ соответственно.

• Для конформно-эквивалентых метрик ${\tilde {g}}=e^{2\psi }{\cdot }g$

• Связности связаны следующей формулой:

  ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }X-g(X,Y){\cdot }\nabla \psi .$

• Кривизны связаны следующей формулой:

  $g({\tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$

  $-\mathrm {Hess} _{\psi }(X,X)-\mathrm {Hess} _{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

если $g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0$ а $\mathrm {Hess} _{\psi }$ обозначает Гессиан функции $\psi$.

• В двумерном случае $|\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}$, поэтому формулу можно записать как

$e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\Delta \psi$

где $\Delta$ обозначает лапласиан по отношению к $g$.

• Для ортонормированной пары векторов $X$ и $Y$, секционную кривизну в направленнии $X\wedge Y$ можно записать в следующем виде:

  ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[\mathrm {Hess} _{f}(X,X)+\mathrm {Hess} _{f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

где $f=e^{-\psi }$.

• При вычислении скалярной кривизны $n$-мерного риманова многообразия при $n\geqslant 3$, удобнее записывать конформный фактор в виде ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$. В этом случае:

  ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}\cdot u-{\frac {4{\cdot }(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{\frac {n-2}{n+2}}$

• Линейный оператор $u\mapsto {\tfrac {n-2}{4{\cdot }(n-1)}}{\cdot }{Sc}\cdot u-\Delta u$ называется конформным лапласианом.

Примеры

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
• Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
• Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в $\mathbb {R} ^{3}$ // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

См. также

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм
• Принцип соответствия границ

Ссылки

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.