Мутация (теория узлов)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Узел Киношита–Терасака (11n42) и узел Конвея (11n34) связаны мутацией.

В теории узлов мутация — это операция[en] над узлом, которая может привести к другому узлу.

Определение[править | править код]

Пусть K — узел, заданный в виде диаграммы[en]. Пусть D — диск в плоскости диаграммы, границы которого пересекают K ровно четыре раза. Можно считать (в случае необходимости используем изотопию), что диск геометрически круглый и четыре точки пересечения расположены на равном расстоянии. Часть узла внутри диска является клубком[en]. Имеется два отражения, которые меняют местами пары конечных точек этого клубка. Кроме того, имеются также вращения. Мутация заменяет исходный клубок на клубок, полученный любой из этих операций. В результате всегда получим узел, который называется мутацией узла K[1].

Мутанты нелегко отличить, поскольку они имеют много тех же инвариантов[2]. Они имеют тот же гиперболический объём (как показал Руберман) и тот же многочлен HOMFLY[en].

Примеры[править | править код]

  • Пара узлов, Конвея и Киношиты-Терасака, являются мутациями друг друга, но имеют различный род, равный 3 и 2 соответственно.

Примечания[править | править код]

  1. Livingston, 1993, с. 214.
  2. Cromwell, 1964, с. 177—181.

Литература[править | править код]

  • Charles Livingston. Knot theory. — Washington DC: The Mathematical Association of America, 1993. — Т. 24. — (The Carus Mathematical Monographs). — ISBN 088385-027-3.
  • Peter R. Cromwell. Knots and Links. — Cambridge: Cambridge University Press, 1964. — ISBN 0-521-83947-5, 0-521-54831-4.
  • Colin Adams. The Knot Book. — New York: W. H. Freeman and Company. — ISBN 0-8050-7380-9.