Коэффициент зацепления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам и в ориентируемом многообразии размерности , классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях и соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых пространства , он равен степени отображения определяемого как

.

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий и , расположенных в пространстве .

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если есть -мерная цепь для которой , и есть индекс пересечения с , то индекс зацепления равен . Это число не зависит от выбора плёнки .

Популярное определение[править | править вики-текст]

Коэффициент зацепления двух не пересекающихся друг с другом ориентированных контуров x и y определяется как сумма коэффициентов зацепления по всем двойным точкам проекции контура на контур и на некоторую плоскость. Для каждой двойной точки коэффициент зацепления равен , если при движении по направлению контура контур пересекает его слева направо и , если контур пересекает его справа налево. Если пересекаются два участка одного и того же контура или контур x проходит выше контура y, двойной точке приписывается коэффициент зацепления [1].

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если поменять ролями циклы и , то коэффициент зацепления умножится на .
  • Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то коэффициент зацепления не изменится. Этот факт является основой при интерпретации двойственности Александера с помощью зацеплений.
  • При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним коэффициент зацепления изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в и со значениями в факторгруппе . Это спаривание устанавливает между ними двойственность Понтрягина.
    • В частности, для подгруппы кручения в в случае этим задаётся билинейная форма самозацеплений со значениями в которая является гомотопическим инвариантом многообразия.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]