Простой узел (теория узлов)

Эта статья о классе математических узлов, не разложимых на части; о простейшем виде узлов на верёвках см. Простой узел.

Простóй у́зел (простóе зацеплéние) в теории узлов — узел, который, в определённом смысле, — неразложим. Точнее, это нетривиальный узел, который нельзя представить в виде конкатенации двух нетривиальных узлов. Об узлах, не являющихся простыми, говорят как о составных узлах или составных зацеплениях. Определить, является ли данный узел простым или нет, может оказаться сложной задачей.

Примеры

Хорошим примером семейства простых узлов служат торические узлы. Эти узлы образуются накручиванием окружности на тор p раз в одном направлении и q раз в другом, где p и q являются взаимно простыми целыми числами.

Простейший простой узел — это трилистник с тремя пересечениями. Трилистник является, фактически, (2, 3)-торическим узлом. Узел «восьмёрка» с четырьмя пересечениями является простейшим неторическим узлом. Для любого положительного целого числа n имеется конечное число простых узлов с n пересечениями. Первые несколько значений числа простых узлов (последовательность A002863 в OEIS) даны в следующей таблице.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Число простых узлов с n пересечениями	0	0	1	1	2	3	7	21	49	165	552	2176	9988	46 972	253 293	1 388 705
Составные узлы	0	0	0	0	0	2	1	4	...		...		...		...
Всего	0	0	1	1	2	5	8	25	...		...		...		...

Заметим, что антиподы считались в этой таблице и ниже лежащем рисунке только один раз (т. е. узел и его зеркальное отражение считаются эквивалентными).

Изображения всех простых узлов с семью и менее пересечениями без учёта зеркальных отражений. (Тривиальный узел простым не считается)

Теорема Шуберта

Теорема, принадлежащая Хорсту Шуберту, утверждает, что любой узел можно единственным образом представить в виде конкатенации простых узлов.

См. также

• Список простых узлов

Литература

• H. Schubert. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten // S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. — 1949.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Prime Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [Prime Links with a Non-Prime Component ]Knot Atlas