Формула Планка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, — которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения :

.

История открытия[править | править вики-текст]

Формула Планка («форма» зависимости «» от частоты и температуры), первоначально, была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса (которая следует из классической теории электромагнитного поля) удовлетворительно описывает излучение только в области «длинных» волн. С убыванием длин волн — формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными; более того: в пределе — она даёт расхождение: бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим — Планк, в 1900 году, сделал предположение, противоречащее классической физике: о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций (квантов) энергии, величина которых связана с частотой излучения выражением:

.

Коэффициент пропорциональности «», — впоследствии, — назвали постоянной Планка; = 1,054 · 10−27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы; в частности — из неё следует закон Стефана — Больцмана (также эмпирически подтверждённый). Кроме того — из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка: формула Вина и формула Рэлея — Джинса.

Вывод для абсолютно чёрного тела[править | править вики-текст]

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля — любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн; каждая — с определённой угловой частотой «». Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, — энергия осциллятора принимает дискретные значения, согласно следующей формуле:

.

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, — используя каноническое распределение Гиббса, — можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

.

Статистическая сумма «» — равна:

.

Свободная энергия «» — равна:

.

Для средней (математическое ожидание) энергии «» — воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца:;

таким образом — средняя энергия , приходящаяся на полевой осциллятор, — равна:

, (1)

где «» — постоянная Планка, «» — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве, в интервале , — равно[1][2]:

. (2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения — получаем:

,

где первое слагаемое связано с энергией нулевых колебаний, а второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

. (5)

Вывод, исходя из распределения Бозе — Эйнштейна[править | править вики-текст]

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Для этой статистики, среднее число частиц с данной энергией «» — равно:

.

По определению:

,

где  — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией, в бесконечно малой окрестности .

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу — получим формулу Планка.

Переход к формулам Рэлея — Джинса[править | править вики-текст]

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда — можно разложить экспоненту по . В результате — получим, что ; тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея — Джинса.

, и
.

Переход к закону Стефана — Больцмана[править | править вики-текст]

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости — следует записать интеграл:

.

Введём переменную: ; тогда , и . Получим:

.

Полученный интеграл имеет точное значение: ; подставив его — получим известный закон Стефана — Больцмана:

.

Подстановка численных значений констант даёт значение для Вт/(м2 ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина[править | править вики-текст]

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по и приравнять нулю (поиск экстремума):.

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим , и получится уравнение:

.

Решение такого уравнения даёт . Следовательно,

; отсюда немедленно получается:

.

Численная подстановка констант даёт значение для К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу: мкм·К. Так солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сивухин Д.В., Том 4 (Оптика), Москва 1980 г., § 117, Формула Рэлея — Джинса, формула 117.7, с. 692-694
  2. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с., § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253-258

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]