Формула Планка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Планка — выражение, описывающее спектральное распределение энергии излучения абсолютно чёрного тела.

Согласно одной из форм этого выражения, энергетическая яркость такого тела в интервале угловых частот равна , где

где постоянная Планка, постоянная Больцмана, скорость света, температура.

Формулой Планка также называют выражения для спектральной мощности излучения единицы поверхности (светимости)

и для спектральной плотности энергии излучения абсолютно чёрного тела

Можно также записать формулу Планка для интервалов линейных частот или длин волн . Учитывая, что , для спектральной плотности, например, можно получить.

и


История открытия[править | править код]

Формула Планка первоначально была получена эмпирически, после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса (которая следует из классической электродинамики) удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн эта формула сильно расходится с экспериментом; более того, в пределе она даёт расхождение: бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Макс Планк в 1900 году сделал противоречащее классической физике предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций (квантов) энергии, величина которых связана с частотой излучения выражением:

Коэффициент пропорциональности, , впоследствии назвали постоянной Планка; = 1,054·10−27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы; в частности, из неё следует закон Стефана — Больцмана (также эмпирически подтверждённый). Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка: формула Вина и формула Рэлея — Джинса.

Вывод для абсолютно чёрного тела[править | править код]

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля, любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн; каждая — с определённой угловой частотой . Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

Статистическая сумма равна:

Свободная энергия равна:

Для средней (математическое ожидание) энергии воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца:

;

таким образом, средняя энергия , приходящаяся на полевой осциллятор, равна:


, (1)

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве, в интервале , равно[1][2]:


. (2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем:

где первое слагаемое связано с энергией нулевых колебаний, а второе — это и есть формула Планка.

Вывод, исходящий из распределения Бозе — Эйнштейна[править | править код]

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Для этой статистики, среднее число частиц с данной энергией равно:

По определению:

где  — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией, в бесконечно малой окрестности .

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу, получим для

формулу Планка.

Переход к формулам Рэлея — Джинса[править | править код]

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда , можно разложить экспоненту по . В результате получим, что

тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея — Джинса.

и

Переход к закону Стефана — Больцмана[править | править код]

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

Введём переменную , тогда

Полученный интеграл точно равен , и мы получаем известный закон Стефана — Больцмана:

Подстановка численных значений констант даёт значение для Вт/(м2 K), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина[править | править код]

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по и приравнять нулю (поиск экстремума)

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначив , получим уравнение:

Решение такого уравнения даёт . Следовательно,

Численная подстановка констант даёт значение для К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу: мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Сивухин Д.В., Том 4 (Оптика), Москва 1980 г., § 117, Формула Рэлея — Джинса, формула 117.7, с. 692-694
  2. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с., § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253-258

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]