Формула Планка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (спектральной плотности энергетической светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для плотности энергии излучения :

Формула Планка («форма» зависимости от частоты и температуры) первоначально была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея—Джинса, которая следует из классической теории электромагнитного поля, удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными. Более того, в пределе она даёт расхождение — бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

Коэффициент пропорциональности впоследствии назвали постоянной Планка, = 1,054 · 10−27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы, в частности из неё следует закон Стефана-Больцмана, также эмпирически подтверждённый. Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка, — формула Вина и формула Рэлея-Джинса.

Вывод для абсолютно чёрного тела[править | править вики-текст]

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн, каждая с определённой угловой частотой . Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

Статистическая сумма равна

Свободная энергия равна

Для средней (математическое ожидание) энергии воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца

Таким образом средняя энергия, приходящаяся на полевой осциллятор равна

(1)

где  — постоянная Планка,  — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве в интервале от равно[1][2]:

(2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем

Первое слагаемое в этой формуле связано с энергией нулевых колебаний, второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

(5)

Вывод исходя из распределения Бозе-Эйнштейна[править | править вики-текст]

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для этой статистики среднее число частиц с данной энергией равно

По определению

где  — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией в бесконечно малой окрестности .

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу и получим формулу Планка

Переход к формулам Рэлея—Джинса[править | править вики-текст]

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда можно разложить экспоненту по . В результате получим, что , тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

и

Переход к закону Стефана — Больцмана[править | править вики-текст]

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

Введём переменную , тогда , , получим

Полученный интеграл имеет точное значение: , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

Подстановка численных значений констант даёт значение для Вт/(м2 ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина[править | править вики-текст]

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по и приравнять нулю (поиск экстремума):

.

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим , и получится уравнение:

.

Решение такого уравнения даёт x=4,96511. Следовательно, , отсюда немедленно получается:

.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Сивухин Д.В., Том 4 (Оптика), Москва 1980 г., § 117, Формула Рэлея — Джинса, формула 117.7, с. 692-694
  2. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с., § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253-258

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]