Признак Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, , при этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме[править | править вики-текст]

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если  — расходится.

Замечание 1. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если , и последовательность стремится к своему пределу сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство[править | править вики-текст]

  1. Пусть, начиная с некоторого номера , верно неравенство , где . Тогда можно записать , , ..., , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим , откуда . Это означает, что ряд меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые членов (последовательности ) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
  2. Пусть (начиная с некоторого N): тогда можно записать . Это означает, что модуль членов последовательности не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
  3. Пусть , начиная с некоторого . При этом не существует такого , , что для всех , начиная с некоторого номера . В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда и удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда верно для любого натурального . В то же время, поскольку , это означает, что для любого , можно подобрать такое число , что , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности , где , будут находиться на интервале , т.е. . А это и означает, что не существует такого , , что для всех . Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Ряд
абсолютно сходится для всех комплексных , так как
  • Ряд
расходится при всех , так как
  • Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда
и
удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.