Признак Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

\sum_{n=0}^\infty a_n

существует такое число q, 0<q<1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q,

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1, при этом не существует такого q , 0<q<1 , что \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q для всех n, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме[править | править вики-текст]

Если существует предел

\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если \rho<1, а если \rho>1 — расходится.

Замечание. Если \rho=1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство[править | править вики-текст]

  1. Пусть, начиная с некоторого номера N, верно неравенство \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q, где 0<q<1. Тогда можно записать \left| {\frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}} \right| \le q, \left| {\frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_{N+1}}}}} \right| \le q, ..., \left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_{N + n - 1}}}}} \right| \le q , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим \left| {\frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}} \right|*\left| {\frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_{N + 1}}}}} \right|*...*\left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_{N + n - 1}}}}} \right| = \left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_N}}}} \right| \le {q^n}, откуда \left| {{a_{N + n}}} \right| \le |{a_N}|{q^n}. Это означает, что ряд \left| {{a_{N + 1}}} \right| + \left| {{a_{N + 2}}} \right| + \left| {{a_{N + 3}}} \right| + ... меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые N-1 членов роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
  2. Пусть \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1 (начиная с некоторого N): тогда можно записать \left| {{a_{n + 1}}} \right| \ge \left| {{a_n}} \right|. Это означает, что модуль членов последовательности \{ a\} не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность \{ a\} не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
  3. Пусть \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1, начиная с некоторого n=N. При этом не существует такого q , 0<q<1 , что \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q для всех n, начиная с некоторого номера N. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} и \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} верно \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1 для любого натурального n. В то же время, поскольку \lim_{n\to\infty}\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = 1, это означает, что для любого q , 0<q<1 можно подобрать такое число \varepsilon, что 1 - \varepsilon  > q , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности \{ b\} , где {b_n} = \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|, будут находиться на интервале (1 - \varepsilon ;1), т.е. {b_n} >q. А это и означает, что не существует такого q , 0<q<1 , что \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q для всех n>N. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Ряд
\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}
абсолютно сходится для всех комплексных z, так как
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^n}/{n!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0.
  • Ряд
\sum_{n=0}^\infty n!\;z^n
расходится при всех z\neq0, так как
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^n}\right|=\lim_{n\to\infty}|(n+1)z|=\infty.
  • Если \rho=1, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} и \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}
удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.