Функция ошибок
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Error_Function.svg/400px-Error_Function.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Error_Function_Complementary.svg/400px-Error_Function_Complementary.svg.png)
Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
- .
Некоторые[какие?] авторы опускают множитель перед интегралом.[источник не указан 70 дней]
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ), определяется через функцию ошибок:
- .
Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:
- .
Свойства
[править | править код]- Функция ошибок нечётна:
- Для любого комплексного выполняется
- где черта обозначает комплексное сопряжение числа .
- Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
- Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного , так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.
- Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
- поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .
- Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
- При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.
- Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной функции Гаусса с медианой μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1⁄√2:
- Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:
- Обратная функция ошибок представляет собой ряд
- где c0 = 1 и
- Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
- Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Применение
[править | править код]Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на , равна .
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение
[править | править код]При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой[1]
где
Аппроксимации
[править | править код]Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10-7, реализована в Numerical Recipes[англ.][2]:
где при , и при . При эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции при малых x.
Аппроксимация функции ошибок даётся формулой[1]
где . Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит , а обратная к ней функция выражается аналитически[1]:
Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений .
Родственные функции
[править | править код]С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа — функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой
Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Error_Function_Generalised.svg/400px-Error_Function_Generalised.svg.png)
серая линия:
красная линия:
зелёная линия:
синяя линия:
жёлтая линия: .
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
- — прямая линия, проходящая через начало координат:
- — функция ошибок .
После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про с чётными . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .
На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Повторные интегралы дополнительной функции ошибок
[править | править код]Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как[3]
- ,
- для .
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
и
Реализации
[править | править код]В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h
(для Си) или cmath
(для C++). Там же объявлены пары функций erff()
, erfcf()
и erfl()
, erfcl()
. Первая пара получает и возвращает значения типа float
, а вторая — значения типа long double
. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math
проекта «Boost».
В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math
не содержит[4] функцию ошибок. Класс Erf
можно найти в пакете org.apache.commons.math.special
из не стандартной библиотеки, поставляемой[5] Apache Software Foundation.
Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.
В языке Python функция ошибок доступна[6] из стандартной библиотеки math
, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special
проекта SciPy[5].
В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math
[7].
В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН[8]
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Winitzki S. A handy approximation for the error function and its inverse (англ.). — 2008.
- ↑ Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in Fortran 77. The Art of Scientific Computing (англ.). — 2nd ed.. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — 963 p. — ISBN 0-521-43064-X. — §6.2.
- ↑ Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
- ↑ Math (Java Platform SE 6) . Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 29 августа 2009 года.
- ↑ Архивированная копия . Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано из оригинала 9 апреля 2008 года.
- ↑ 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation
- ↑ Язык Erlang. Описание Архивная копия от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля
math
. - ↑ Функция ФОШ . support.microsoft.com. Дата обращения: 15 ноября 2021. Архивировано 15 ноября 2021 года.
Литература
[править | править код]- Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
- Nikolai G. Lehtinen. Error functions (апрель 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.