Функция ошибок

График функции ошибок

Дополнительная функция ошибок

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

$\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$.

Некоторые^{[какие?]} авторы опускают множитель ${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}$ перед интегралом.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая $\operatorname {erfc} \,x$ (иногда применяется обозначение $\operatorname {Erf} \,x$), определяется через функцию ошибок:

$\operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая $w(x)$, также определяется через функцию ошибок:

$w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)$.

Свойства

• Функция ошибок нечётна:

$\operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x.$

• Для любого комплексного $x$ выполняется

$\operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}$

где черта обозначает комплексное сопряжение числа $x$.

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

$\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)$

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного $x$, так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

• Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

$\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}$

поскольку ${\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}$ — сомножитель, превращающий $i$-й член ряда в $(i+1)$-й, считая первым членом $x$.

• Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
• При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка $z=\infty$ будет для неё существенно особой.
• Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной функции Гаусса с медианой μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1⁄√2:

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}.$

• Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:

$\int \operatorname {erf} x\,dx=x\operatorname {erf} \,x+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.$

• Обратная функция ошибок представляет собой ряд

$\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},$

где c₀ = 1 и

$c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.$

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

$\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).$[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Применение

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением $\sigma$, то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на $a$, равна $\operatorname {erf} \,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}$.

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших $x$ полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

$\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.$

Хотя для любого конечного $x$ этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления $\operatorname {erfc} \,x$ с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

$(\operatorname {erf} x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right),$

где

$a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.$

Аппроксимации

Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10⁻⁷, реализована в Numerical Recipes:

$\operatorname {erfc} x\approx t\operatorname {exp} (-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}+0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}),$

где $t=1/(1+|x|/2),$ при $x>0$, и $\operatorname {erfc} x=2-\operatorname {erfc} |x|$ при $x<0$. При $0\leq x\lesssim 5\times 10^{-8}$ эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции $\operatorname {erf} \,x\equiv 1-\operatorname {erfc} \,x$ при малых x.

Аппроксимация функции ошибок даётся формулой

$\operatorname {erf} x\approx \operatorname {sign} x\left[1-\operatorname {exp} \left(-x^{2}{\frac {4/|x|+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)\right]^{1/2},$

где $a=0.147$. Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит $1.3\times 10^{-4}$, а обратная к ней функция выражается аналитически:

$\operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sign} x\,\left[-{\frac {2}{a\pi }}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {2}{a\pi }}+{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{a}}}}\right]^{1/2}.$

Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений $x\in (-1,1)$.

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа — функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой $\Phi (x)$

$\Phi (x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.$

Обратная функция к $\Phi$, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается $\operatorname {probit}$ и выражается через нормальную функцию ошибок как

$\operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).$

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

$\operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right).$

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

$\operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right).$

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок $E_{n}(x)$:
серая линия: $E_{1}(x)=(1-e^{-x})/{\sqrt {\pi }}$
красная линия: $E_{2}(x)=\operatorname {erf} \,x$
зелёная линия: $E_{3}(x)$
синяя линия: $E_{4}(x)$
жёлтая линия: $E_{5}(x)$.

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

$E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.$

Примечательными частными случаями являются:

• $E_{0}(x)$ — прямая линия, проходящая через начало координат: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}$
• $E_{2}(x)$ — функция ошибок $\operatorname {erf} \,x$.

После деления на $n!$ все $E_{n}$ с нечётными $n$ выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про $E_{n}$ с чётными $n$. Все обобщённые функции ошибок с $n>0$ выглядят похоже на полуоси $x>0$.

На полуоси $x>0$ все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

$E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0$

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

$\operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}$

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы $\operatorname {I^{n}erfc}$ дополнительной функции ошибок определяются как

$\operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z$,

$\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\zeta ,$ для $n>0$.

Их можно разложить в ряд:

$\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,$

откуда следуют свойства симметрии

$\operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}$

и

$\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.$

Реализации

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок $\operatorname {erf}$ и дополнительная функция ошибок $\operatorname {erfc}$. Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math.

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН

См. также

• Функция Гаусса
• Функция Доусона
• Гауссов интеграл

Литература

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
• Nikolai G. Lehtinen. Error functions  (неопр.) (апрель 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

Ссылки

• MathWorld — Erf
• Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
• Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf