W-функция Ламберта

$W$-функция Ламберта определяется как обратная функция к $f(w)=we^{w}$, для комплексных $w$. Обозначается $W(x)$ или $\operatorname {LambertW} (x)$. Для любого комплексного $z$ она определяется функциональным уравнением:

$z=W(ze^{z})$

$W$-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно».

Многозначность

Основная $W_{0}$ (синяя) и дополнительная $W_{-1}$ (фиолетовая) ветви функции $W(x)$

График W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Поскольку функция $f(w)$ не является инъективной на интервале $(-\infty ,0)$, $W(z)$ является многозначной функцией на $(-{\frac {1}{e}},0)$.

• Если ограничиться вещественными $z=x\geqslant -1/e$ и потребовать $w\geqslant -1$, будет определена однозначная функция $W_{0}(x)$ — основная ветвь функции $W(x)$.
• Если ограничиться вещественными $z=x\geqslant -1/e$, $z=x<0$ и потребовать $w\leqslant -1$, будет определена однозначная функция $W_{-1}(x)$ — дополнительная ветвь функции $W(x)$.

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчётов.

$\left.W(z)\right|_{z\to \infty }=\log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_{z\to -{\frac {1}{e}}}={\sqrt {2(ez+1)}}-1$

Другие формулы

$\int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{+\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}$

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}$

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при $z\neq -{\tfrac {1}{e}}$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

${dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при $|z|<{\tfrac {1}{e}}$:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots .$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

$\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.$

Значения в некоторых точках

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}$

$W(-1)\approx -0.31813+1.33723i$

$W\left(-{1 \over e}\right)=-1$

$W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a$, при ${\frac {1}{e}}\leq a\leq e$

$W(0)=0$

$W(e)=1$

$W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329$ (постоянная Омега)

Формулы

$W(xe^{x})=x,\,x>0$

$W_{0}(xe^{x})=x,\,x\geqslant -1$

$W_{-1}(xe^{x})=x,\,x\leqslant -1$

$e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}$

$\ln W(x)=\ln x-W(x),\,x>0$

$W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)}}\right)\right),\,x>0,y>0$

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример 1: $x\cdot a^{x}=b$

$x\ln a\cdot e^{x\ln a}=b\ln a$, следовательно, $x\ln a=W(b\ln a)$, откуда $x={W(b\ln a) \over \ln a}$.

Пример 2: $x^{x}=a$

$\ln x\cdot e^{\ln x}=\ln a$, следовательно, $\ln x=W(\ln a)$, откуда $x=e^{W(\ln a)}$.

Пример 3: $a^{x}=bx$

${1 \over b}=xa^{-x}$, тогда $-{\ln a \over b}=-x\ln a\cdot e^{-x\ln a}$, следовательно, $W\left(-{\ln a \over b}\right)=-x\ln a$, откуда $x=-{1 \over \ln a}W\left(-{\ln a \over b}\right)$.

Обобщенные применения W-функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

где a₀, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является $x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )}$. Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции Ламберта:

• Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале «Classical and Quantum Gravity» была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)$

и где константы r₁ и r₂, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а r_i и a_o являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщённое применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию «Meijer G», оно принадлежит к другому типу функций. Когда r₁ = r₂, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.

• Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:

$e^{-cx}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)$

где r_i и s_i константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики и критерий «Кейпер-Ли» для Гипотеза Римана.

Вычисление

$W$-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения:

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in range(100):
        wTimesExpW = w * math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2))
        if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
            break
    if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
        raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x)
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать следующую формулу. $W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{,}04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrix}}\right.$ Приведённая функция похожа, но более чем на 10 % отличается от функции Ламберта.