История математических обозначений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математические обозначения — символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул[1]. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского), математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.

Алгебра[править | править вики-текст]

Объекты и операции[править | править вики-текст]

От индийских значков, показанных в нижней строке (начертание I века н. э.), произошли современные цифры

0123456789

Для обозначения цифр от 1 до 9 в Индии с VI века до н. э. использовалось написание «брахми», с отдельными знаками для каждой цифры. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими. В связи с изобретением десятичной позиционной системы записи чисел (около 500 г. н. э.), понадобился новый значок для нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 года, он имеет вид привычного нам кружочка.

3{,}62

Десятичная запятая, отделяющая дробную часть числа от целой, введена итальянским астрономом Маджини (1592) и Непером (1617). Ранее вместо запятой ставили иные символы — вертикальную черту: 3|62, или нуль в скобках: 3 (0) 62; некоторые авторы, следуя ал-Каши, употребляли чернила разного цвета. В Англии вместо запятой предпочли использовать точку, которую ставили посередине строки; эту традицию переняли в США, однако сдвинули точку вниз, чтобы не путать её со знаком умножения.

\ \frac {7}{12}\

«Двухэтажная» запись обыкновенной дроби использовалась ещё древнегреческими математиками, хотя знаменатель у них записывался над числителем, а черты дроби не было. Индийские математики переместили числитель наверх; через арабов этот формат переняли в Европе. Дробную черту впервые в Европе ввёл Леонардо Пизанский (1202), но в обиход она вошла только при поддержке Иоганна Видмана (1489).

Первое появление знаков «плюс» и «минус». Страница из книги Иоганна Видмана

\boldsymbol{+\;-}

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Иоганна Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения[2].

\boldsymbol{\times \; \cdot}

Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали чаще всего букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника \Box (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659). Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621).

\boldsymbol{/ \; : \; \div}

Знаки деления. Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (англ. National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной[3].

\boldsymbol{\pm}

Знак плюс-минус появился у Жирара (1626) и Отреда. Правда, Жирар между плюсом и минусом писал ещё словами «или».

\boldsymbol{a^n}

Возведение в степень. Современная запись показателя степени введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2. Позднее Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили Стевин, Валлис и Жирар.

Символика Кардано

\boldsymbol{\sqrt{x}}

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R или стилизованной комбинацией R_x (от лат. Radix, корень)[4]. На рисунке справа показано, как Кардано (1585 год) записал равенство:

(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15}) = 25-(-15) = 40

Современное обозначение знака корня впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году[5]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

\boldsymbol{\sqrt[3]{x}}

Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: Rx.u.cu (от лат. Radix universalis cubica)[4]. Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629).[6] Закрепился этот формат благодаря Ньютону и Лейбницу.

([\{\}])

Круглые скобки появились у Тартальи (1556) (для подкоренного выражения) и позднее у Жирара[5]. Бомбелли использовал в качестве начальной скобки уголок в виде буквы L, а в качестве конечной — его же в перевёрнутом виде (1550); такая запись стала прародителем квадратных скобок. Фигурные скобки предложил Виет (1593)[5]. Однако большинство математиков тогда предпочитали вместо скобок надчёркивать выделяемое выражение. В общее употребление скобки ввели Лейбниц и Эйлер.

\boldsymbol{\Sigma}

Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году.

\boldsymbol{\Pi}

Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году.

\boldsymbol{i}

Букву i как код мнимой единицы: i=\sqrt{-1} предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву слова imaginarius (мнимый).

|x|

Обозначение абсолютной величины и модуля комплексного числа появились у Вейерштрасса в 1841 году. В 1903 году Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

[x]

Символ функции «целая часть» ввёл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

Отношения[править | править вики-текст]

Первое печатное появление знака равенства (записано уравнение 14x + 15 = 71)

=

Знак равенства предложил Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.

\approx

Знак «приблизительно равно» придумал немецкий математик С. Гюнтер в 1882 году.

\ne

Знак «не равно» впервые встречается у Эйлера.

\equiv

Автор знака «тождественно равно» — Бернхард Риман (1857). Этот же символ, по предложению Гаусса, используется в теории чисел как знак сравнения по модулю, а в логике — как знак операции эквивалентности.

<\ \ >

Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше.

\leqslant\ \ \geqslant

Символы нестрогого сравнения предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.

\ll \; \gg

Эти обозначения были введены Анри Пуанкаре и Эмилем Борелем (1901) и использовались для указания, что один ряд мажорируется другим. Иногда они используются в этом узком смысле и сейчас, но чаще означают «много меньше» и «много больше».

Геометрия и тригонометрия[править | править вики-текст]

\angle, \perp

Символы «угол» и «перпендикулярно» придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок <, современную форму ему придал Уильям Отред (1657).

\|

Символ «параллельности» известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально (Отред (1677), Керси (англ. John Kersey) и др. математики XVII века)[7].

30^\circ 40' 50''

Современные обозначения угловых единиц (градусы, минуты, секунды) встречаются ещё в «Альмагесте» Птолемея, однако в средневековой Европе вместо них писали словами: gradus, minutes, secundae. Вновь эти символы использовал в 1568 году французский математик и поэт Жак Пелетье (фр. Jacques Peletier du Mans, 1517—1582), после чего они быстро вошли в общее употребление (в частности, у Тихо Браге, Ретика и Кеплера).

Радианную меру углов, более удобную для анализа, предложил в 1714 году английский математик Роджер Котс. Сам термин радиан придумал в 1873 году Джеймс Томсон, брат известного физика лорда Кельвина.

\pi

Общепринятое обозначение числа 3,14159… впервые образовал Уильям Джонс в 1706 году, взяв первую букву слов греч. περιφέρεια — окружность и περίμετρος — периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно.

\sin, \cos

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Отред в середине XVII века.

\tan, \operatorname{tg}, \cot, \operatorname{ctg}

Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: \operatorname{tg}, \operatorname{ctg} введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций \tan, \cot, предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века.

\arcsin

Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: \sin^{-1}, \frac{1}{\sin}, но они не прижились.

Математический анализ[править | править вики-текст]

f(x)

Долгое время математики задавали аргументы без скобок: fx, скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение[8]. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи \sin x, \lg x и др. Но постепенно использование скобок стало общим правилом.

o, O

Символы бесконечно малых использовал шотландский математик Джеймс Грегори. У него эти обозначения перенял Ньютон.

\int

Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли (1690).

\Delta x

Обозначение приращения буквой \Delta впервые употребил Иоганн Бернулли.

d x

Обозначение дифференциала, производной и значительная часть других общеупотребительных символов анализа принадлежит Лейбницу.

\dot x

Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691).

f'(x)

Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу.

\int\limits_a^b f(x)\, dx

Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.

e

Стандартное обозначение числа Эйлера e = 2,71828… предложено, естественно, Эйлером (1728, опубликовано в 1736 году).

\frac{\partial}{\partial x}

Символ частной производной сделали общеупотребительным сначала Карл Якоби (1837), а затем Вейерштрасс, хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной работе Лежандра (1786).

\lim_{x \to a} f(x)

Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье и получил поддержку Коши (1821)[9]. Предельное значение аргумента сначала указывалось отдельно, после символа lim, а не под ним. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства[10]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков — например, у Харди (1908).

\nabla

Символ этого дифференциального оператора придумал Уильям Роуэн Гамильтон (1853), а название «набла» предложил Хевисайд (1892).

Другие обозначения[править | править вики-текст]

%

Символ процента появляется в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше.

\log_a b, \; \lg, \; \ln

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века[11].

x_n

Индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде ввёл Ньютон (1717). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне. Двойные индексы (для элементов матриц) ввёл в общее пользование Якоби (1835).

n!\

Символ факториала предложил Кристиан Крамп (1808).

\infty

Символ бесконечности придумал Валлис, опубликован в 1655 году[5].

\lor \land

Символы логических операций предложил Джордж Буль (1854). Альтернативой являются символ амперсанда & для конъюнкции и вертикальной черты | для дизъюнкции.

\forall, \exists

Первые символы для кванторов появились в 1879 году, в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения \exists для квантора существования, предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 году, и \forall для квантора общности, образованное Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы слов англ. exists — существует и all — все). Сам термин «квантор» также предложил Пирс.

\subset,\supset, \in, \cap, \cup

На символику теории множеств большое влияние оказала тесно связанная с ней и уже хорошо разработанная к концу XIX века символика математической логики. Теоретико-множественные символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у немецкого логика Эрнста Шрёдера. Вначале отношения «содержится» и «является элементом» не различали, но ещё до появления парадоксов теории множеств отдельный символ принадлежности: \in стал использовать Джузеппе Пеано (1895; от греч. εστι — быть). Он же является автором символов пересечения и объединения множеств (1888).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Лейбниц в письме Чирнгаузу (1678) писал: «Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления».
  2. Cardano's Ars Magna, page 4. Проверено 8 октября 2013.
  3. Divide symbols.
  4. 1 2 Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
  5. 1 2 3 4 Математическая энциклопедия, 1982
  6. История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — Т. II. — С. 41.
  7. Earliest Uses of Symbols from Geometry.
  8. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 82. — 224 с.
  9. Хайрер Э., Ваннер Г Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — С. 172.. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9
  10. Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76..
  11. Cajori. Florian A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore. — P. 152. — ISBN 0821821024

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]