Факторизация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Факториза́ция — разложение данного натурального числа на простые множители.

В отличие от задачи распознавания простоты числа, факторизация предположительно является сложной задачей.

[править] Алгоритмы факторизации

В зависимости от сложности алгоритмы факторизации можно разбить на две группы. Первая группа — экспоненциальные алгоритмы, сложность которых экспоненциально зависит от длины входящих праметров (то есть от длины самого числа в бинарном представлении). Вторая группа — субэкспоненциальные алгоритмы, для обозначения сложности которых принята L-нотация:

где N — число подлежащее факторизации, 0 < α < 1 и c — некоторые константы.

Вопрос о существовании алгоритма факторизации с полиномиальной сложностью на классическом компьютере является одной из важных открытых проблем современной теории чисел. В то же время факторизация с полиномиальной сложностью возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

[править] Экспоненциальные алгоритмы

• Перебор возможных делителей — наиболее тривиальный алгоритмом факторизации с вычислительной сложностью Θ(N^{1 / 2}).
• ρ-алгоритм Полларда имеет сложность Θ(N^{1 / 4});
• p-1 алгоритм Полларда;
• p+1 алгоритм Вильямса;
• метод квадратичных форм Шенкса имеет сложность O(N^{1 / 4});
• метод Шермана — Лемана.

[править] Субэкспоненциальные алгоритмы

• метод непрерывных дробей имеет сложность ;
• метод квадратичного решета имеет сложность ;
• метод эллиптических кривых имеет сложность , где p — наименьшее простое, которое делит N.

[править] Решето числового поля

В настоящее время самыми эффективными алгоритмами факторизации являются вариации решета числового поля:

• общий метод решета числового поля со сложностью ;
• специальный метод решета числового поля со сложностью . Однако для использования этого алгоритма накладываются определённые условия на число, подлежащее факторизации.

[править] Применение в криптографии

Предполагаемая сложность задачи факторизации лежит в основе криптостойкости некоторых алгоритмов шифрования с открытым ключом, таких как RSA.

[править] Ссылки

• Н. П. Варновский. Проблема P =? NP, классы сложностей и криптография. 2005.
• Онлайновые программы для факторизации чисел: [1], [2], [3]
• Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Т.2 Получисленные алгоритмы. - Вильямс, 2007, - Раздел 4.5.4. Разложение на простые множители. с. 425-468

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.