Проекция Меркатора

Карта мира между 85° ю. ш. и 85° с. ш. в проекции Меркатора

Соотношения между площадью каждой страны в проекции Меркатора и истинной площадью

Равноуго́льная цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты.

Карта мира Меркатора 1569 года

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. Однако в реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Другой заметный пример - Россия, несмотря на размер, всего лишь в 1.7 раза больше по площади, чем США, и в 1.8 раза больше по площади, чем Австралия.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки $\lambda$ (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):

$x=c(\lambda -\lambda _{0}).$

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте $\theta$ равен просто $c/(R\cos \theta )$ (R — радиус Земли), то из условия $dyR\cos \theta /c=Rd\theta$ мы получаем выражение для зависимости y от $\theta$:

${\begin{matrix}y&=&c\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=&c\,\operatorname {arth} \sin \theta .\end{matrix}}$

(Здесь arth — обратный гиперболический тангенс).

Функция $\operatorname {arth} \sin \theta$ носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как $\operatorname {lam} \theta$ или $\operatorname {arcgd} \theta$ (см. также Интеграл от секанса).

Обратное преобразование (из линейной координаты y в широту θ) носит название функции Гудермана, или гудерманиана (в честь Кристофа Гудермана) и обозначается $\operatorname {gd} y.$ Обратное преобразование координаты x в долготу λ является, как и прямое преобразование, линейной функцией:

${\begin{matrix}\theta &=&\operatorname {gd} y=2\operatorname {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\\\\ &=&\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} (y/c)\right),\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0}.\end{matrix}}$

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — малая полуось) в географических координатах

$dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},$

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

${\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c[\operatorname {arth} \sin \theta -\varepsilon \operatorname {arth} (\varepsilon \sin \theta )].\end{matrix}}$

Здесь $\varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a$ — эксцентриситет земного эллипсоида.

Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому $\varepsilon$. Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

$\theta _{n+1}=f\left(\theta _{n},y\right)$, где $\theta _{0}$ можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.

$\theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)$

См. также

• Web Mercator
• Dell'Arcano del Mare

Ссылки

• Проекция Меркатора. Виртуальная выставка Российской национальной библиотеки
• Проекция Меркатора в учебнике по морской навигации