Теория Янга — Миллса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом[1], однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.[2] Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Характерные свойства теорий Янга — Миллса[править | править вики-текст]

  • Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
  • Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
  • Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя[3] присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика[править | править вики-текст]

Теории Янга — Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой калибровочной группы симметрий. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

\ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = -\frac{1}{4}\operatorname{Tr}(F^2)=- \frac{1}{4}F^{\mu \nu a} F_{\mu \nu}^a,

где F — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на вектор-потенциал A^a_\mu калибровочной группы:

\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,

где под \partial_\mu понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Генераторы алгебры Ли калибровочной группы T^a удовлетворяют соотношению

\ [T^a,T^b]=if^{abc}T^c,

где f^{abc} называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как

\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu

где I — единичный оператор, а g — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия g — это безразмерная величина. Для SU(N) групп a,b,c=1\ldots N^2-1.

Вышеприведённое определение F_{\mu \nu}^a может быть получено, исходя из коммутатора

\ [D_\mu, D_\nu] = -igT^aF_{\mu\nu}^a.

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения

\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=0.

называются полулинейными. В случае малой константы связи g<1 в данной теории применима теория возмущений.

Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, \,f^{abc}=f_{abc}, в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца \eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---).

С введением F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}, уравнения движения можно переписать так

\, (D^\mu F_{\mu\nu})^a=0.\!

Так как F — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки

\ (D_\mu F_{\nu \kappa})^a+(D_\kappa F_{\mu \nu})^a+(D_\nu F_{\kappa \mu})^a=0.

Источник J_\mu^a входит в уравнения движения как

\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=-J_\nu^a .

Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.

Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как [A]=[L^\frac{2-D}{2}] и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность \, [g^2]=[L^{D-4}]. Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для D=4 константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием \phi^4. Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. C. N. Yang, R. Mills (1954). «Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance». Physical Review 96 (1): 191–195. DOI:10.1103/PhysRev.96.191.
  2. См. Предисловие в книге Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вилковыского. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987. — 288 с.
    репринтное переиздание: Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. ISBN 5-11-480064-7.
  3. Clay Mathematics Institute

Литература[править | править вики-текст]

  • Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
  • Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.