Фильтр Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Фильтр Чебышева»)
Перейти к: навигация, поиск
Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышёва
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра
Фильтр Габора
Править

Фильтр Чебышёва[К 1] — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Фильтр Чебышёва I рода[править | править исходный текст]

АЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с \omega_0=1 и \varepsilon=1

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:

G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}

где \varepsilon — показатель пульсаций, \omega_0частота среза, а T_n(x)многочлен Чебышёва n \!-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) \varepsilon. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального \! G=1 до минимального G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}. На частоте среза \omega_0 коэффициент усиления имеет значение 1/\sqrt{1+\varepsilon^2}, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАФЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = 20 \log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}.

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют \varepsilon = 1 \!.

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси j\omega в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Полюса и нули[править | править исходный текст]

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты (s=\sigma+j\omega) при \varepsilon=0,\!1 и \omega_0=1. Белые пятна — это полюса фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836… по действительной оси и 1,071… по мнимой оси. Полюса передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту передачи менее 0,05, белый соответствует коэффициенту передачи более 20

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (\omega_{pm}) фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту s, получим:

1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0.

Представив -js=\cos(\theta) и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0.

Разрешим последнее выражение относительно \theta

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}.

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

s_{pm}=i\cos(\theta)=
=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right).

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

s_{pm}^\pm=
\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+
+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)
,

где m=1,\;2,\;\ldots,\;n и

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}.

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром \theta_n. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в s-плоскости, причём центр эллипса находится в точке s=0, полуось действительной оси имеет длину \mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n), а полуось мнимой оси имеет длину \mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n).

Передаточная функция[править | править исходный текст]

Уравнение, выведенное выше, содержит полюса, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра G. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком действительной части полюса. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

где s_{pm}^- — только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

Групповая задержка[править | править исходный текст]

Амплитуда и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с \varepsilon=0,\!5. Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет

Групповая задержка определяется как минус производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.

\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Фазовые характеристики[править | править исходный текст]

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}

Временны́е характеристики[править | править исходный текст]

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Фильтр Чебышёва II рода[править | править исходный текст]

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с \omega_0=1 и \varepsilon=0,\!01

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза \omega_0. Параметр \varepsilon связан с затуханием в полосе подавления \gamma в децибелах следующим выражением:

\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: \varepsilon=0,\!6801; для затухания в 10 дБ: \varepsilon=0,\!3333. Частота f_C=\omega_C/(2\pi) является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ f_H связана с f_C следующим выражением:

f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right).

Полюса и нули[править | править исходный текст]

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости (s=\sigma+j\omega) с \varepsilon=0,\!1 и \omega_0=1. Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные — нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) показаны также, 2 находятся за пределами картинки (один на положительной мнимой оси, другой — на отрицательной мнимой оси). Полюса передаточной функции фильтра — это полюса, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции — это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01, белый — коэффициенту усиления более 3

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов (\omega_{pm}) фильтра Чебышёва:

1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0.

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

\frac{1}{s_{pm}^\pm}=
\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+
+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)
,

где m=1,\;2,\;\ldots,\;n.

Нули (\omega_{zm}) фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::

\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0.

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right),

где m=1,\;2,\;\ldots,\;n.

Передаточная функция[править | править исходный текст]

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комплексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

Групповая задержка[править | править исходный текст]

Амплитудная характеристика и групповая задержка фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с \varepsilon=0,\!1

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики[править | править исходный текст]

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики[править | править исходный текст]

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва II рода 5-го порядка

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Цифровые фильтры Чебышёва[править | править исходный текст]

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:

Z-преобразование каждого каскада:

S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}.

Во временно́й области преобразование записывается как:

y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2]

Коэффициенты \alpha_i \! и \beta_i \! подсчитываются из коэффициентов a_i \! и \! b_i:

 K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)
 \mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}
 b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}
 a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i
  \alpha_0 = K \cdot K
  \alpha_1 = 2 \cdot K^2
  \alpha_2 = K \cdot K


  \beta_0^\prime =   (a_i + K^2 + b_i)
  \beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)
  \beta_2^\prime =   (a_i - K^2 - b_i)


  \beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime
  \beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

Сравнение с другими линейными фильтрами[править | править исходный текст]

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

Filter comparison.PNG

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имеет более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

См. также[править | править исходный текст]

Комментарии[править | править исходный текст]

  1. Вопреки распространённому произношению старинной дворянской фамилии учёного — Чебышёв[1][2][3] — с ударением на первый слог (Чéбышев), обусловленному характерной для XX века тенденцией к обособлению фамилий на -ов/-ёв от исходных притяжательных прилагательных[2] и традиционным неразличением е/ё на письме, 4-е издание академического «Русского орфографического словаря» (2013), словарь ударений «Собственные имена в русском языке» (2001) и профильные академические издания, последовательно использующие ё при передаче имён и названий, фиксируют в качестве орфографической и орфоэпической нормы написание и произношение Чебышёв[4][5][6][7].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Чебышев Пафнутий Львович / Б. В. Гнеденко // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1978. — Т. 29 : Чаган — Экс-ле-Бен. — 640 с.. — В заголовке статьи: «Чебышев (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович…»
  2. 1 2 Унбегаун, Б. О. Русские фамилии / пер. с англ. Л. В. Куркиной, В. П. Нерознака, Е. Р. Сквайрс; ред. Н. Н. Попов. — М. : Прогресс, 1989. — С. 349. — ISBN 5-01-001045-3.
  3. Калиткин, Н. Н. Численные методы : учебное пособие. — 2-е изд., испр. — СПб. : БХВ-Петербург, 2011. — С. 33 [чебышёвская система функций], 465 [чебышёвский набор шагов], 552 [критерий Чебышёва], 574 [многочлены Чебышёва]. — (Учебная литература для вузов). — ISBN 978-5-9775-0500-0.
  4. Чебышёв [многочлены Чебышёва, формула Чебышёва] ; чебышёвский // Русский орфографический словарь / Российская академия наук. Институт русского языка им. В. В. Виноградова; под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. — Изд. 4-е, испр. и доп. — М. : АСТ-ПРЕСС КНИГА, 2013. — С. 819. — (Фундаментальные словари русского языка). — ISBN 978-5-462-01272-3.
  5. Агеенко, Ф. Л. Чебышёв Пафнýтий // Собственные имена в русском языке : словарь ударений. — М. : Издательство НЦ ЭНАС, 2001. — С. 349. — ISBN 5-93196-107-0.
  6. Журнал вычислительной математики и математической физики. — М. : Издательство АН СССР, 1982. — № 1. — Т. 22. — С. 142 [чебышёвский центр множества].
  7. Математический сборник. — М. : Наука, 2004. — Т. 195. — С. 29 [чебышёвский альтернанс], 56—57 [чебышёвский метод].

Библиография[править | править исходный текст]

  • Кривицкий, Б. Х. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М. : Энергия, 1977.
  • Лукас, В. А. Теория автоматического управления. — M. : Недра, 1990.
  • Daniels, Richard W. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6.
  • Higgins, Richard J. Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X.
  • Haykin, S. Adaptive Filter Theory. — 4th ed. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1.
  • Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Adaptive Filters – Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA : Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0.
  • Markel, J. D.; Gray Jr., A. H. Linear Prediction of Speech. — New York : Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1.
  • Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5.
  • Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X.
  • Rabiner, L. R.; Schafer, R. W. Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1.
  • Rabiner, L. R.; Gold, B. Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4.
  • Rorabaugh, Britton C. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York : McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7.
  • Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — 2nd ed. — San-Diego : California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1.
  • Widrow, B.; Stearns, S. D. Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0.

Ссылки[править | править исходный текст]