Целое алгебраическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и в частности вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо \Omega. Очевидно, \Omega является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть u — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо \mathbb{Z}[u], порождённое добавлением u к кольцу обычных целых чисел \mathbb{Z}. Оно образовано всевозможными значениями f(u), где f(z) — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число u является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда \mathbb{Z}[u] — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все рациональные числа, входящие в \Omega, являются на деле целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь m/n со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
  • Для каждого алгебраического числа u существует натуральное число n такое, что nu — целое алгебраическое число.
  • Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История[править | править вики-текст]

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида a+b\sqrt{-5} имеют место 2 разложения:

6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5}),

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература[править | править вики-текст]

  • К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
  • Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М., 1964.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
  • Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
  • Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел