Целое алгебраическое число

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и в частности вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо $\Omega$. Очевидно, $\Omega$ является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть $u$ — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо $\mathbb{Z}[u]$, порождённое добавлением $u$ к кольцу обычных целых чисел $\mathbb{Z}$. Оно образовано всевозможными значениями $f(u)$, где $f(z)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число $u$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда $\mathbb{Z}[u]$ — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел

• Гауссовы целые числа.
• Корни из единицы — корни многочлена $x^n-1$ над полем комплексных чисел.

Свойства

• Все рациональные числа, входящие в $\Omega$, являются на деле целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь $m/n$ со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
• Для каждого алгебраического числа $u$ существует натуральное число $n$ такое, что $nu$ — целое алгебраическое число.
• Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида $a+b\sqrt{-5}$ имеют место 2 разложения:

$6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5})$,

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература

• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
• Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М., 1964.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел