Квадратный корень из 2

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: \sqrt{2}. Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к \sqrt{2} является дробь \tfrac{99}{70}. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Иррациональные числа
γζ(3)ρ — 2 — 3 — 5 — φδs — α — e — π — δ
Система счисления Оценка числа √2
Двоичная 1.0110101000001001111…
Десятичная 1.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная 1.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}

История[править | править вики-текст]

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение \sqrt{2} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел[источник не указан 410 дней].

Алгоритмы вычисления[править | править вики-текст]

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение \sqrt{2} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только \pi было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух[править | править вики-текст]

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

 \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1.Потому что (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.\,

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i} и \frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения \pi:

2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\text{ as }m \to \infty\,

С точки зрения высшей алгебры, \sqrt{2} является корнем многочлена x^2-2 и поэтому является целым алгебраическим числом[1]. Множество чисел вида a+b\sqrt{2}, где ~a, b — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается \mathbb{Q}[\sqrt{2}] и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности[править | править вики-текст]

Применим доказательство от противного: допустим, \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде дроби \frac{m}{n}, где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Так как разложение m2 на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n2 - в нечетной, равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.

Непрерывная дробь[править | править вики-текст]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}.

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь \frac {m}{n}, то последующая имеет вид \frac {m+2 n}{m+n}. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги[править | править вики-текст]

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1:\sqrt{2}. При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне, получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также[править | править вики-текст]


  1. Не путать с целым числом.