Квадратный корень из 2

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: \sqrt{2}. Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к \sqrt{2} является дробь \tfrac{99}{70}. Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

Иррациональные числа
γζ(3)ρ — 2 — 3 — 5 — φδs — α — e — π — δ
Система счисления Оценка числа √2
Двоичная 1.0110101000001001111…
Десятичная 1.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная 1.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}

История[править | править вики-текст]

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение \sqrt{2} при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел[источник не указан 296 дней].

Алгоритмы вычисления[править | править вики-текст]

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение \sqrt{2} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только \pi было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух[править | править вики-текст]

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

 \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1.Потому что (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + \cdots}}} = 2.\,

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i} и \frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\sqrt{2}^ {\ \cdot^ {\cdot^ \cdot}}}} = 2

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения \pi:

2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\text{ as }m \to \infty\,

С точки зрения высшей алгебры, \sqrt{2} является корнем многочлена x^2-2 и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида a+b\sqrt{2}, где ~a, b — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается \mathbb{Q}[\sqrt{2}] и является подполем поля вещественных чисел.

\sin(5\tfrac58 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}};
\sin(11\tfrac14 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}};
\sin(16\tfrac78 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}};
\sin(22\tfrac12 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2}};
\sin(28\tfrac18 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}};
\sin(33\tfrac34 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}};
\sin(39\tfrac38 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}};
\sin(45 ^\circ) = \frac12\sqrt{2};
\sin(50\tfrac58 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}};
\sin(56\tfrac14 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}};
\sin(61\tfrac78 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}};
\sin(67\tfrac12 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2}};
\sin(73\tfrac18 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}};
\sin(78\tfrac34 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}};
\sin(84\tfrac38 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}.

Доказательство иррациональности[править | править вики-текст]

Применим доказательство от противного: допустим, \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде дроби \frac{m}{n}, где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Так как m2 содержит четное число двоек, а 2n2 -нечетное число двоек, равенство m2=2n2 невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.

Непрерывная дробь[править | править вики-текст]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}.

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь \frac {m}{n}, то последующая имеет вид \frac {m+2 n}{m+n}. Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

\frac {3}{2}; \ \frac {7}{5}; \ \frac {17}{12}; \ \frac {41}{29}; \ \frac {99}{70}; \ \frac {239}{169}; \ \frac {577}{408}; \ \frac {1393}{985}; \ \frac {3363}{2378} \dots

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги[править | править вики-текст]

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать такие, наиболее употребительные форматы бумаги одним числом по геометрическому убыванию площади листа (числу разрезов) — А0, А1, А2, А3, А4,…

Мнемоническое запоминание[править | править вики-текст]

Для запоминания значения корня из двух, существует фраза: «Я Таня, я дура, но я вот нашла корень из двух.» Количество букв в словах соответствует одиннадцати цифрам.

См. также[править | править вики-текст]