Теория линейных стационарных систем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, цифровой обработке сигналов и других областях науки и техники.

Обзор[править | править исходный текст]

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

  • Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы (воздействие) —
x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)
тогда сигнал на выходе системы (реакция) —
y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)
для любых постоянных A и B, где yi(t) — выход системы как реакция на входной сигнал (воздействие) xi(t).
  • Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал A\exp({st}) с некоторой комплексной амплитудой A и частотой s, то выход будет равен некоторому сигналу B\exp({st}) с комплексной амплитудой B. Отношение B/A будет являться передаточной функцией системы на частоте s.

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

Стационарность и линейные преобразования[править | править исходный текст]

Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — x(t), где аргумент — числа действительной оси, то есть t \in \mathbb{R}. Линейный оператор \mathcal{H} показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

Для дискретной системы:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.

Так как \mathcal{H} — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал x(t) представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Если линейный оператор \mathcal{H} ко всему прочему является и стационарным, тогда

 h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau)  \qquad  \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Положив

 \tau = -t_2, \,

получим:

h(t_1, t_2) = h(t_1 - t_2, 0).  \,

Для краткости записи второй аргумент в h (t_1, t_2) обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Импульсная переходная функция[править | править исходный текст]

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

 (h * \delta) (t)  = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

Для дискретной системы:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[n-m].

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{with } t = t_1 - t_2)

то есть h(t) — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

Приложив ко входу системы, получим:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau
\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau (так как \mathcal{H} линейна)
\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau (так как x(\tau) постоянна по t и \mathcal{H} линейна)
\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau (by definition of h(t))

В импульсной переходной функции h(t) содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции[править | править исходный текст]

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

\mathcal{H}f = \lambda f,

где f — собственная функция, и \lambdaсобственное число, константа.

Экспоненты e^{s t}, где s \in \mathbb{C} являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы x(t) = e^{s t}. Тогда выходной сигнал системы h(t) равен:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau)  e^{s \tau}  d \tau

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau
 \quad = e^{s t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau
 \quad = e^{s t} H(s),

где

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t

зависит только от s.

Таким образом, e^{s t}собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье[править | править исходный текст]

Преобразование Лапласа

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида \exp({j \omega t}) где \omega \in \mathbb{R} и jмнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\} даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. H(s) называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к H(j\omega).

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau
\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Для дискретных систем:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m]
\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Некоторые свойства[править | править исходный текст]

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность[править | править исходный текст]

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

Для дискретных систем:

h[n] = 0 \ \forall n < 0,

где h(t) — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость[править | править исходный текст]

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty

и

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty

(то есть, максимумы абсолютных значений x(t) и y(t) конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, h(t), должна удовлетворять выражению

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

Для дискретных систем:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось s=j\omega.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen (May 1995). «Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals». IEEE Trans. Signal Proc..
  • P. P. Vaidyanathan and T. Chen (May 1995). «Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms». IEEE Trans. Signal Proc..
  • В.И. Зубов Теория уравнений управляемого движения. — Л.: ЛГУ, 1980.