Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты $E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}$, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование $X(z)$ дискретного временного сигнала $x[n]$ задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}.$

где $n$ — целое, $z$ — комплексное число.

$z=Ae^{j\varphi },$

где $A$ — амплитуда, а $\varphi$ — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда $x[n]$ определена только для $n\geqslant 0$, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.$

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz,$

где $C$ — контур, охватывающий область сходимости $X(z)$. Контур должен содержать все вычеты $X(z)$.

Положив в предыдущей формуле $z=re^{j\varphi }$, получим эквивалентное определение: $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }X(re^{j\varphi })e^{jn\varphi }\,d\varphi .$

Область сходимости

Область сходимости $D$ представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

$D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\infty \right\}.$

Пример 1 (без области сходимости)

Пусть $x[n]=0{,}5^{n}$. Раскрывая $x[n]$ на интервале $(-\infty ,\;\infty )$, получаем

$x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ;\;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}.$

Смотрим на сумму:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .$

Поэтому, не существует таких значений $z$, которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Связь с преобразованием Лапласа

Основная статья: Билинейное преобразование

Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом $T,$ представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}.$

Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:

$z={\frac {2+sT}{2-sT}}.$

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость $s=\sigma +j\omega$ преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось $j\omega$ s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.

Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной $j\omega$, переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось $j\omega$ находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Таблица некоторых Z-преобразований

Обозначения:

• $\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$ — функция Хевисайда.
• $\delta [n]=1$ для $n=0$, и $\delta [n]=0$ для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).

	Сигнал, $x[n]$	Z-преобразование, $X(z)$	Область сходимости
1	$\delta [n]$	$1$	$\forall z$
2	$\delta [n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{n_{0}}}}$	$z\neq 0$
3	$\theta [n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$|z|>1$
4	$a^{n}\theta [n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
5	$na^{n}\theta [n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
8	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
10	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
11	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

См. также

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.