Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики, положив начало теории рядов, теории дифференциальных уравнений и многому другому. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики и расширили применение математики в естественных науках и технике.
Дифференциальное исчисление базируется на важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции при малых изменениях. Точнее, дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Основу этого аппарата составляют центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
[править | править код]Производная
[править | править код]Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. |
Пусть функция определена в окрестности и для любого > 0 найдётся такое , что
- , лишь только
тогда говорят, что — бесконечно малое порядка .
Пусть — вещественнозначная функция, заданная на отрезке . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале , если
для любого и любого . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке функции образуют кольцо гладких функций .
Коэффициенты
Эти функции называют производными функции . Первая производная может быть вычислена как предел
- .
Оператор, сопоставляющий функции её производную обозначают как
При этом для двух гладких функций f и g верно
- и
Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.
Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.
Касательная прямая
[править | править код]пересекает кривую
в точке таким образом, что знак выражения
при условии всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая
лежит по одну сторону от прямой
Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке (по Б. Кавальери). Точку , в которой кривая
не лежит по одну сторону от прямой
называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.
Точки экстремума
[править | править код]Точка называется точкой локального максимума (минимума), если
для всех достаточно малых по модулю . Из соотношения
сразу видно, что — необходимое условие максимума, а — достаточное условие максимума. Условие выделяет точки максимума, минимума и перегиба.
Непрерывные функции
[править | править код]Пусть определена и на концах интервала ; говорят, что она непрерывна на , если для любого найдётся такое , что
- , лишь только
и точки не выходят за границы интервала . Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывные на интервале функции образуют кольцо непрерывных функций .
История
[править | править код]В XII веке математик Шарафуддин ат-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан «Трактат об уравнениях», в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.
Основные теоремы дифференциального исчисления
[править | править код]Кольцо непрерывных на и гладких на функций обладает рядом важных свойств:
- Теорема Ролля: если , то имеется точка максимума или минимума, в которой обращается в нуль.
- Теорема Лагранжа: существует такая точка , что
- Теорема Коши: если на , то существует такая точка , что
Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке найдутся такие точки , что
где
При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке по известным значениям функции и её производных в точке .
Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если или , и на , то
причём существование второго предела влечёт существование первого.
См. также
[править | править код]- Вариационное исчисление
- Анализ функций многих переменных
- Интегральное исчисление
- Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
Литература
[править | править код]- Граве Д. А. Дифференциальное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Виноградов И. М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. — Москва: Советская энциклопедия, 1977.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981.
Для улучшения этой статьи желательно:
|
В другом языковом разделе есть более полная статья Differentialrechnung (нем.). |