Дифференциальное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной[править | править вики-текст]

Производная[править | править вики-текст]

Пусть функция определена в окрестности и для любого > 0 найдётся такое , что

, лишь только

тогда говорят, что  — бесконечно малое порядка .

Пусть  — вещественнозначная функция, заданная на отрезке . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале , если

для любого и любого . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке функции образуют кольцо гладких функций .

Коэффициенты

Эти функции называют производными функции . Первая производная может быть вычислена как предел

.

Оператор, сопоставляющий функции её производную обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно

и

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая[править | править вики-текст]

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

пересекает кривую

в точке таким образом, что знак выражения

при условии всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

лежит по одну сторону от прямой

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке (по Б. Кавальери). Точку , в которой кривая

не лежит по одну сторону от прямой

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума[править | править вики-текст]

Точка называется точкой локального максимума (минимума), если

для всех достаточно малых по модулю . Из соотношения

сразу видно, что  — необходимое условие максимума, а  — достаточное условие максимума. Условие выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции[править | править вики-текст]

Пусть определена и на концах интервала ; говорят, что она непрерывна на , если для любого найдётся такое , что

, лишь только

и точки не выходят за границы интервала . Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале функции образуют кольцо непрерывных функций .

История[править | править вики-текст]

В XII веке математик Шараф аль-Дин аль-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан "Трактат об уравнениях", в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.

Основные теоремы дифференциального исчисления[править | править вики-текст]

Кольцо непрерывных на и гладких на функций обладает рядом важных свойств:

  • Теорема Ролля: если , то имеется точка максимума или минимума, в которой обращается в нуль.
  • Теорема Лагранжа: существует такая точка , что
  • Теорема Коши: если на , то существует такая точка , что

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке найдутся такие точки , что

где

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке по известным значениям функции и её производных в точке .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если или , и на , то

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]