Дифференциальное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной[править | править исходный текст]

Производная[править | править исходный текст]

Пусть функция g(h) определена в окрестности h=0 и для любого \epsilon > 0 найдётся такое \delta, что

|g(h)/h^n|<\epsilon, лишь только  |h|<\delta,

тогда говорят, что g(h) — бесконечно малое порядка o(h^n).

Пусть f(x) — вещественнозначная функция, заданная на отрезке (a,b). Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале (a,b), если

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f''(x)h^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(x)h^n + o(h^n)

для любого x\in(a,b) и любого n. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке (a,b) функции образуют кольцо гладких функций C^\infty(a,b).

Коэффициенты f^{(n)}(x)

f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+ \dots \frac{1}{n!}f^{(m+n)}(x)h^n + o(h^n)

Эти функции называют производными функции f(x). Первая производная может быть вычислена как предел

f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Оператор, сопоставляющий функции f(x) её производную f'(x) обозначают как

D= \frac{d}{dx}

При этом для двух гладких функций f и g верно

D (f+g)= Df + Dg и D(fg)=fDg+ gDf

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a,b), является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая[править | править исходный текст]

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

y=f(c)+f'(c)(x-c)

пересекает кривую

y=f(x)

в точке (c,f(c)) таким образом, что знак выражения

f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)=\frac{1}{2}f''(c)(x-c)^2+o((x-c)^2)

при условии f''(c)\not =0 всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

y=f(x)

лежит по одну сторону от прямой

y=f(c)+f'(c)(x-c)

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке x=c (по Б. Кавальери). Точку x=c, в которой кривая

y=f(x)

не лежит по одну сторону от прямой

y=f(c)+f'(c)(x-c)

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума[править | править исходный текст]

Точка x=c называется точкой локального максимума (минимума), если

f(c)-f(c+h)>0 \quad (f(c)-f(c+h)<0 )

для всех достаточно малых по модулю h. Из соотношения

f'(c)h+\frac{1}{2}f''(c)h^2+ o(h^2)<0

сразу видно, что f'(c)=0 — необходимое условие максимума, а f''(c)<0 — достаточное условие максимума. Условие f''(c)=0 выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции[править | править исходный текст]

Пусть f определена и на концах интервала [a,b]; говорят, что она непрерывна на [a,b], если для любого \epsilon найдётся такое \delta, что

|f(x)-f(x+h)|<\epsilon, лишь только  |h|<\delta,

и точки x,\, x+h не выходят за границы интервала [a,b]. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале [a,b] функции образуют кольцо непрерывных функций C[a,b].

История[править | править исходный текст]

В 12-м веке математик Шараф аль-Дин аль-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан трактат об "Уравнениях разработанных концепций, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как Производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения".

Основные теоремы дифференциального исчисления[править | править исходный текст]

Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке (a',b')\subset (a,b) найдутся такие точки c_n, что

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+\frac{1}{2!}f''(a')(b'-a')^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(a')(b'-a')^n + R_n

где

R_n=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c_n)(b'-a')^{n+1}

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке b' по известным значениям функции и её производных в точке a'.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если f(b)=g(b)=0 или f(b)=g(b)=\infty, и g'\not =0 на (a,b), то

\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f'(x)}{g'(x)},

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]