Остаток ряда

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

$r_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}$

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Свойства

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

1. Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.
2. Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.
3. Если ряд сходится, то

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}=0$

Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).