Матричная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике, матричная функция — это функция, отображающая матрицу в другую матрицу.

Расширение скалярной функции до матричной функции

[править | править код]

Существует несколько методов преобразования функции действительного переменного в функцию от квадратной матрицы, сохраняющих интересные свойства этой функции. Все приведённые ниже методы дают одну и ту же матричную функцию, но области их определения могут отличаться.

Степенные ряды

[править | править код]

Если вещественная функция  может быть представлена в виде ряда Тейлора

,

то матричная функция может быть определена путём замены  на матрицу: степени становятся матричными, сложение — суммой матриц, а умножение — умножением матрицы на число. Если вещественный ряд сходится при  , то соответствующий матричный ряд сходится для матриц A, удовлетворяющих условию  в некоторой матричной норме  , удовлетворяющей неравенству  .

Разложение Жордана

[править | править код]

Пусть матрица A может быть приведена к диагональному виду, то есть мы можем найти матрицу P и диагональную матрицу D такие, что  . Применяя определение через степенные ряды к этому разложению, мы получаем, что  определяется выражением 

где  обозначает диагональные элементы матрицы D.

Любая матрица может быть приведена к жордановой нормальной форме , где матрица J состоит из жордановых клеток. Рассмотрим эти блоки отдельно и применим метод степенных рядов к каждой жордановой клетке:

Это определение может быть использовано для расширения области определения матричной функции за пределы множества матриц, спектральный радиус которых меньше, чем радиус сходимости исходного степенного ряда. Отметим также связь с разделёнными разностями.

Родственным понятием является разложение Жордана-Шевалле[англ.], которая представляет матрицу как сумму диагонализируемой и нильпотентной частей.

Эрмитовы матрицы

[править | править код]

Согласно спектральной теореме, эрмитова матрица обладает только вещественными собственными значениями и всегда могут быть приведены к диагональному виду с помощью унитарной матрицы P. В этом случае естественным является жорданово определение. Более того, это определение продолжает стандартные неравенства для вещественных функций:

Если  для всех собственных чисел матрицы , то . (По соглашению,  — положительно полуопределённая матрица). Доказательство следует непосредственно из определения.

Интеграл Коши

[править | править код]

Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может быть использована для обобщения скалярных функций до матричных функций. Интегральная формула Коши гласит, что для любой аналитической функции f, определённой на множестве D⊂ℂ, имеет место равенство

,

где C — замкнутая кривая внутри области определения D, охватывающая точку x. Заменим теперь x на матрицу A и рассмотрим контур C, лежащий внутри D и охватывающий все собственные значения матрицы. Один из возможных контуров C — круг, включающий начало координат, с радиусом, превышающим  для произвольной нормы . Тогда  определяется выражением

Этот интеграл может быть вычислен численно с помощью метода трапеций, который в данном случае сходится экспоненциально. Это означает, что точность результата удваивается при увеличении числа узлов в два раза.

Эта идея, применённая к линейным ограниченным операторам на банаховых пространствах, которые можно рассматривать без бесконечномерные матрицы, приводит к голоморфному функциональному исчислению[англ.].

Матричные возмущения

[править | править код]

Ряд Тейлора, приведённый выше, допускает замену скаляра  на матрицу. Но это недопустимо в общем случае, когда разложение осуществляется в терминах  в окрестности точки , кроме случаев, когда . Контр-примером является функция , ряд Тейлора которой содержит конечное число слагаемых. Вычислим его двумя способами.

  • Непосредственно:
  • Используя разложение Тейлора для скалярной функции  и заменяя скаляры на матрицы в самом конце:

Скалярное выражение подразумевает коммутативность, а матричное — нет, поэтому их нельзя приравнивать, если не выполняется условие  . Для некоторых f(x) можно поступить так же, как для скалярных рядов Тейлора. Например, для : если существует  , то . Тогда

.

Для сходимости этого степенного ряда требуется, чтобы в соответствующей матричной норме    было достаточно мало. В общем случае, когда функция не может быть переписана таким образом, чтобы две матрицы коммутировали, при применении правила Лейбница нужно учитывать порядок умножения матриц.

Классы матричных функций

[править | править код]

Используя полуопределённые упорядочения матриц ( — положительная полуопределённая матрица, а  — положительно определённая матрица), некоторые классы скалярных функций могут быть распространены на функции от эрмитовых матриц[1].

Операторная монотонность

[править | править код]

Функция  называется операторно монотонной, если 

  для всех самосопряжённых матриц , спектр которых принадлежит области определения функции f. Это аналог монотонной функции для скалярных функций.

Операторная выпуклость/вогнутость

[править | править код]

Функция называется операторно вогнутой тогда и только тогда, когда

для всех самосопряжённых матриц  со спектром в области определения функции f и при . Это определение аналогично вогнутым скалярным функциям. Операторно выпуклая функция может быть путём замены  на  в предыдущем определении.

Матричный логарифм является и операторно монотонной, и операторно вогнутой. Матричный квадрат — операторно выпуклой. Экспонента матрицы не относится ни к одному из указанных классов. Теорема Лёвнера гласит, что функция на открытом интервале является операторно монотонной тогда и только тогда, когда у неё есть аналитическое продолжение на верхнюю и нижнюю комплексную полуплоскости такие, что верхняя полуплоскость отображается на себя.[1]

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics).

Литература

[править | править код]
  • Higham, Nicholas J. (2008). Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9780898717778.