Скрученный узел

Скрученный узел с шестью полуоборотами.

В теории узлов скрученный узел — это узел, полученный в результате перекручивания замкнутой петли с последующим зацеплением концов (таким образом, скрученный узел — это любое двойное зацепление Уайтхеда тривиального узла). Скрученные узлы являются бесконечным семейством узлов и считаются простейшим типом узлов после торических узлов.

Построение

Скрученный узел получается путём зацепления двух концов скрученной петли. Любое число полуоборотов может быть сделано до зацепления, что даёт бесконечное семейство. Следующие фигуры показывают несколько первых скрученных узлов:

• 
  Один полуоборот
  (Трилистник)
• 
  Два полуоборота
  (Восьмёрка)
• 
  Три полуоборота
  (5₂)
• 
  Четыре полуоборота
  (Узел грузчика)
• 
  Пять полуоборотов
  (7₂)
• 
  Шесть полуоборотов
  (8₁)

Свойства

Узел грузчика в четыре полуоборота образуется путём (само-)зацепления одного конца петли, скрученной в два оборота, с другим концом петли.

Все скрученные узлы имеют число развязывания единица, поскольку узел можно развязать, разъединив два конца. Любой скрученный узел является также двухмостиковым. Из всех скрученных узлов только тривиальный узел и узел грузчика являются срезанными. Скрученный узел c $n$ полуоборотами имеет число пересечений $n+2$. Все скрученные узлы являются обратимыми, но ахиральными скрученными узлами являются только тривиальный узел и восьмёрка.

Инварианты

Инварианты скрученных узлов зависят от числа $n$ полуоборотов. Многочлен Александера скрученного узла задаётся формулой

$\Delta (t)=$

${\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}$ для чётных n,

$-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}$ для нечётных n,

а многочлен Конвея равен

$\nabla (z)=$

${\frac {n+1}{2}}z^{2}+1$ для чётных n,

$1-{\frac {n}{2}}z^{2}$ для нечётных n.

Если $n$ нечётно, многочлен Джонса равен

$V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},$

при чётном же $n$

$V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.$

Литература

• Dale Rolfsen. Knots and links. — Providence, R. I.: AMS Chelsea Pub, 2003. — ISBN 0-8218-3436-3.