Полином Джонса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t1/2 с целыми коэффициентами. Обнаружен Воганом Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку Кауффмана[править | править вики-текст]

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен , где число закрученности диаграммы , а скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков ( на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, ( на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на , что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности .

Теперь, выполняя подстановку в , мы получаем искомый многочлен Джонса . Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной .

Определение через представления группы кос[править | править вики-текст]

Джонс определил свой полином, используя операторную алгебру. Подход Джонса, основанный на понятии "следа", в частности, представлении кос, привёл к появлению алгебры, которая возникает при изучении некоторых моделей, например, модель Поттса в статистической механике.

Пусть задано зацепление . Теорема Александера утверждает, что любое зацепление является замыканием косы с нитями. Теперь определим представление группы кос с нитями, , на алгебре Темперли-Либа с коэффициентами из и . Стандартная образующая косы равна , где - стандартные образующие алгебры Темперли-Либа. Это можно легко проверить с помощью определения представления. Рассмотрим слово косы, полученную из и вычислим , где - след Маркова. Это даёт , где - скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление -матриц, можно прийти к "обобщению инвариантов Джонса" (например, в[1] вводится понятие -параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношения[править | править вики-текст]

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

Здесь , , и это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Skein (HOMFLY).svg

Связь с другими теориями[править | править вики-текст]

Связь с теорией Черна-Саймонса[править | править вики-текст]

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Связь с гомологиями Хованова[править | править вики-текст]

В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова[en]). Эта теория гомологий является категорификацией полинома Джонса, то есть полином Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

Свойства полинома Джонса[править | править вики-текст]

Полином Джонса обладает многими замечательными свойствами[2][3].

  • Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной в полиноме Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент - полуцелые.
  • Полином Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, т.е.
  • Полином Джонса несвязной суммы узлов равен
  • Полином Джонса объединения зацепления и тривиального узла равен
  • Полином Джонса не меняется при обращении узла, т.е. при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).
  • Зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t−1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром. Это свойство можно легко проверить с помощью определения полинома Джонса через скобку Кауффмана.
  • Если - узел, тогда
  • , где - это число компонент зацепления .

Открытые проблемы[править | править вики-текст]

  • Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла?

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Murakami J., The parallel version of polynomial invariants of links, Osaka J. Math., 1989.
  2. Jones, V.F.R., A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc., 12: 103-111, 1987.
  3. Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты, Матем. просв., 1999, выпуск 3, 59-93.

Литература[править | править вики-текст]