Полином Джонса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t1/2 с целыми коэффициентами. Обнаружен Воганом Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку Кауффмана[править | править вики-текст]

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle, где w(L)число закрученности диаграммы L, а \langle L \rangleскобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков (L_{+} на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, (L_{-} на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда X(L) будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы L. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на -A^{\pm 3}, что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности w(L).

Теперь, выполняя подстановку A = t^{-1/4} в X(L), мы получаем искомый многочлен Джонса V(L). Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной t^{1/2}.

Определение через представления группы кос[править | править вики-текст]

Джонс определил свой полином, используя операторную алгебру. Подход Джонса, основанный на понятии "следа", в частности, представлении кос, привёл к появлению алгебры, которая возникает при изучении некоторых моделей, например, модель Поттса в статистической механике.

Пусть задано зацепление L. Теорема Александера утверждает, что любое зацепление является замыканием косы с n нитями. Теперь определим представление \rho группы кос с n нитями, B_n, на алгебре Темперли-Либа TL_n с коэффициентами из \mathbb Z [A, A^{-1}] и \delta = -A^2 - A^{-2}. Стандартная образующая косы \sigma_i равна A \cdot e_i + A^{-1} \cdot 1, где 1, e_1, e_2, ..., e_{n-1} - стандартные образующие алгебры Темперли-Либа. Это можно легко проверить с помощью определения представления. Рассмотрим слово \sigma косы, полученную из L и вычислим \sigma ^{n-1} tr \rho (\sigma), где tr - след Маркова. Это даёт \langle L \rangle, где \langle \rangle - скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление R-матриц, приводит к "обобщению инвариантов Джонса".

Определение через скейн-соотношения[править | править вики-текст]

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

 (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}).

Здесь L_{+}, L_{-}, и L_{0} это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Skein (HOMFLY).svg

Связь с другими теориями[править | править вики-текст]

Связь с теорией Черна-Саймонса[править | править вики-текст]

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Связь с гомологиями Хованова[править | править вики-текст]

В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что эти гомологии получаются из инвариантов узлов (см. Khovanov homology). Полином Джонса представляется как Эйлерова характеристика для этой гомологии.

Свойства полинома Джонса[править | править вики-текст]

Полином Джонса обладает многими замечательными свойствами [2], [3].

1. Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной t в полиноме Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент - полуцелые.

2. Полином Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, т.е.

V(L_1 \# L_2) = V(L_1) V(L_2).

3. Полином Джонса несвязной суммы узлов равен

V(L_1 \cup L_2) = -(t^{-1/2}+t^{1/2}) V(L_1) V(L_2).

4. Полином Джонса объединения зацепления L и тривиального узла равен

 V(L \cup O) =- (t^{-1/2}+t^{1/2})V(L).

5. Полином Джонса не меняется при обращении узла, т.е. при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

6. Зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t−1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром. Это свойство можно легко проверить с помощью определения полинома Джонса через скобку Кауффмана.

7. Если K - узел, тогда

V_K (e^{2 \pi i / 3}) = 1.

8. V_L (1) = (-2)^{p-1}, где p - это число компонент зацепления L.

Открытые проблемы[править | править вики-текст]

  • Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла?

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, М.: МЦНМО, 1997.[1]
  • Jones, V.F.R., A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc., 12: 103-111, 1987. [2]
  • Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты, Матем. просв., 1999, выпуск 3, 59-93. [3]