Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Для координат всех точек на окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство $x^{2}+y^{2}=1$.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку $(x,y)$ на единичной окружности с началом координат $(0,0)$, получается отрезок, находящийся под углом $\alpha$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

$\cos \alpha =x$,

$\sin \alpha =y$.

При подстановке этих значений в уравнение окружности $x^{2}+y^{2}=1$ получается:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$.

(Используется следующая общепринятая нотация: $\cos ^{2}x=(\cos x)^{2}$.)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin(x+2\pi k)=\sin(x)$

$\cos(x+2\pi k)=\cos(x)$

для всех целых чисел $k$, то есть для $k\in \mathbb {Z}$.

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину дуги единичной окружности, на которую опирается данный угол.

Комплексная плоскость

См. также: U(1)

В комплексной плоскости единичная окружность — это следующее множество $G\subset \mathbb {C}$:

$G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}$

Множество $G$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению, её нейтральный элемент — это $e^{i0}=1.$

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до $n$-мерного пространства ($n>2$), в таком случае говорят о «единичной сфере».

См. также

• Единичная сфера
• Единичный квадрат
• Единичный куб

Литература

• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Unit Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.