Эта статья является кандидатом в добротные статьи

Тригонометрические константы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Основные углы для решения синуса и косинуса на единичной окружности кратны 30 либо 45 градусам

Точные алгебраические выражения для тригонометрических величин нужны для упрощения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.

Все тригонометрические числа — синусы и косинусы рациональных чисел, кратных 360° — алгебраические, то есть являются корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Также они могут быть выражены как корни из комплексных чисел, но не все они удовлетворяют правилам действительных радикалов. Когда они удовлетворяют этим условиям, их лучше описывать действительными радикалами.

Все синусы, косинусы и тангенсы углов, кратных 3°, представимы как обычные квадратные корни с помощью формул двойного и половинного угла, формул сложения и вычитания, а также таких величин, как 0°, 30°, 36°, и 45°. Для целого угла, не кратного 3° (60 радиан), величины синуса, косинуса и тангенса не могут быть выражены действительными радикалами.

По теореме Нивена[en], у синуса с рациональным аргументом в градусах, рациональными же результатами могут быть только 0, 12, 1, −12, и −1.

По теореме Бейкера[en], если синус, косинус или тангенс даёт в результате алгебраическое число, то его аргумент в градусах либо рационален, либо трансцедентен. То есть, если аргумент в градусах алгебраический, но нерациональный, то все функции от этого аргумента будут трансцедентны.

Предмет статьи[править | править код]

Список констант, приведённый в данной статье, неполон по нескольким параметрам:

  1. Значения тригонометрических функций всех углов, чья величина целая и нацело делится на величины приведённых углов, тоже могут быть выражены в виде действительных радикалов, но некоторые из них пропущены.
  2. Можно использовать формулу половинного угла и для любого угла из списка найти значение тригонометрических функций в действительных корнях от половины этого угла, от половины полученного угла, и т. д.
  3. Значения для тригонометрических функций от аргумента, являющегося рациональным и кратным , выразимы в действительных радикалах тогда и только тогда, когда знаменатель аргумента является степенью двойки, умноженной на число Ферма, из которых известны 1, 3, 5, 17, 257 и 65537.
  4. Статья связана только со значениями тригонометрических функций, которые представимы в виде действительных радикалов — корней действительных чисел. Множество остальных тригонометрических функций, например, выразимы в виде кубических корней из комплексных чисел (при этом их нельзя выразить в корнях действительных чисел). Например, значение любой тригонометрической функции от угла, равного 3 (где  — любой угол, упомянутый в этой статье), может быть выражено в виде квадратных и кубических корней при помощи формулы решения кубического уравнения для решения уравнения

но в основном решение косинуса одной трети угла использует кубический корень из комплексного числа (что даёт casus irreducibilis).

На практике все значения тригонометрических функций от углов, не описанных в этой статье, хорошо приближаются методами, описанными в тригонометрических таблицах.

Таблица некоторых часто встречающихся углов[править | править код]

Некоторые единицы измерения углов очень часто встречаются, включая градусы, радианы, обороты, и грады (гоны).

1 полный оборот = 360° = 2 рад = 400 град.

Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от некоторых обычных углов:

Обороты Градусы Радианы Грады (гоны) Синус Косинус Тангенс
0 0 0 0 1 0
112 30° 6 331 12 32 33
18 45° 4 50 22 22 1
16 60° 3 662 32 12 3
14 90° 2 100 1 0
13 120° 23 1331 32 12 3
38 135° 34 150 22 22 −1
512 150° 56 1662 12 32 33
12 180° 200 0 −1 0
712 210° 76 2331 12 32 33
58 225° 54 250 22 22 1
23 240° 43 2662 32 12 3
34 270° 32 300 −1 0
56 300° 53 3331 32 12 3
78 315° 74 350 22 22 −1
1112 330° 116 3662 12 32 33
1 360° 2 400 0 1 0

Дальнейшие углы[править | править код]

Exact trigonometric table for multiples of 3 degrees.

Величины углов, не находящихся в промежутке [0°; 45°], тривиальным образом выводятся из углов, находящихся в данном промежутке путём использования осевой симметрии окружности. В записях, приведённых ниже, когда угол в определённое количество градусов соответствует какому-то правильному многоугольнику, они связаны тем, что градусная мера каждого из углов многоугольника равна (n — 2) умножить на приведённое количество градусов (где n — количество сторон в приведённом правильном многоугольнике). Так это потому, что сумма углов любого n-угольника равна 180° × (n — 2), и поэтому мера каждого из углов любого правильного n-угольникаn is 180° × (n — 2) ÷ n. Так, например, запись «45°: квадрат» значит, что при n = 4, 180° ÷ n = 45°, и мера каждого из углов квадрата равна (n — 2) × 45° = 90°.

0°: фундаментальный[править | править код]

1,5°: правильный 120-угольник[править | править код]

1,875°: правильный 96-угольник[править | править код]

2,25°: правильный 80-угольник[править | править код]

2,8125°: правильный 64-угольник[править | править код]

3°: правильный 60-угольник[править | править код]

3,75°: правильный 48-угольник[править | править код]

4,5°: правильный 40-угольник[править | править код]

5,625°: правильный 32-угольник[править | править код]

6°: правильный 30-угольник[править | править код]

7,5°: правильный 24-угольник[править | править код]

9°: правильный 20-угольник[править | править код]

11,25°: правильный 16-угольник[править | править код]

12°: правильный 15-угольник[править | править код]

15°: правильный 12-угольник[править | править код]

18°: правильный 10-угольник[1][править | править код]

21°: 9° + 12°[править | править код]

22,5°: правильный восьмиугольник[править | править код]

, серебряное сечение

24°: 12° + 12°[править | править код]

27°: 12° + 15°[править | править код]

30°: правильный шестиугольник[править | править код]

33°: 15° + 18°[править | править код]

36°: правильный пятиугольник[править | править код]

[1]
где φ — золотое сечение;

39°: 18° + 21°[править | править код]

42°: 21° + 21°[править | править код]

45°: квадрат[править | править код]

54°: 27° + 27°[править | править код]

60°: правильный треугольник[править | править код]

67,5°: 7,5° + 60°[править | править код]

72°: 36° + 36°[править | править код]

75°: 30° + 45°[править | править код]

90°: фундаментальный[править | править код]

Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2πn[править | править код]

Для кубических корней комплексных чисел, появляющихся в таблице, приведённой ниже, следует взять главное значение, равное кубическому корню с наибольшей действительной частью, она всегда положительна. А значит, суммы кубических корней, появляющиеся в таблице, всегда положительные действительные числа.

Прочее[править | править код]

Использование для других констант[править | править код]

Например, объём додекаэдра с длиной ребра a:

Если использовать

формулу можно упростить до

Вывод через треугольники[править | править код]

Правильный n-угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = 180°n, b =90(1 − 2n

Вывод значений синуса, косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.

Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:

  • Центр многоугольника
  • Вершина многоугольника
  • Середина стороны, содержащей эту вершину

Правильный n-угольник можно разделить на 2n треугольников с углами 180n, 90 − 180n, 90 градусов для n, большего или равного 3. Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.

Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537, 69481, 73697, …, 4294967295.)
  • Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не огут быть выведены.

Подсчитанные значения синуса и косинуса[править | править код]

Тривиальные величины[править | править код]

Синус и косинус 0, 30, 45, 60 и 90 градусов могут быть вычислены из соответственных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.

При использовании радианов, синус и косинус / 2n могут быть выражены в радикальной форме при помощи рекурсивного применения следующих формул:

; т.д.
; т.д.

Например:

;
;
;
;
;

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус (3 × 2n)[править | править код]

;
;
;
;
;
;

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус (5 × 2n)[править | править код]

(Поэтому )
;
;
;
;
;

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус (5 × 3 × 2n)[править | править код]

;
;
;
;
;

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус (17 × 2n)[править | править код]

Если и , то

Затем, используя индукцию, получаем, что

;

Радикальная форма, синус и косинус (257 × 2n); (65537 × 2n)[править | править код]

Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F3=223+1=28+1=257; F4=224+1=216+1=65537), кратные чьи значения синуса и косинуса в радикальной форме существуют, но чересчур длинны, чтобы их здесь привести.

;
;

Радикальная форма, синус и косинус (255 × 2n), (65535 × 2n); (4294967295 × 2n)[править | править код]

D = 232 — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin(/D) и cos (/D) известны. Используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило по индукции, получаем -

;
;

Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило по индукции, получаем -

;
;

И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило по индукции, получаем -

;
;

Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).

n × π(5 × 2m)[править | править код]

Хорда(36°) = ab = 1φ, то есть, числу, обратному золотому сечению, из неравенства Птолемея

Геометрический метод[править | править код]

Применяя неравенство Птолемея ко вписанному четырёхугольнику ABCD, определённому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, находим, что:

что равно обратному числу 1φ по отношению к золотому сечению. crd — функция длины хорды,

А значит,

(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный, а значит, AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB подобны, так как AD параллельно BC. Значит, XC = a·(ab). Но AX + XC = AC, а значит, a + a2b = b. Решив полученное, имеем, что ab = 1φ, как и получено ранее).

Точно так же

а значит,

Алгебраический метод[править | править код]

Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит, .

Далее, , что значит

Следовательно,

и и
и

Также формулы кратного угла для функций от 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x, так как мы знаем значения функций от 5x. Далее следуют формулы кратного угла:

  • Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y2.
  • Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
что мы рассматриваем как:

n × 20[править | править код]

9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × 30[править | править код]

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × 60[править | править код]

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса.

Способы упрощения выражений[править | править код]

Рационализация знаменателя[править | править код]

Если знаменатель является квадратным корнем, умножьте числитель и знаменатель на этот радикал.
Если же знаменатель — сумма или разность двух чисел, умножьте числитель и знаменатель на число, сопряжённое со знаменателем. Сопряжённое со знаменателем число равно ему, за исключением того, что знак между членами противоположный.
В некоторых случаях нужно рационализировать знаменатель больше, чем единожды.

Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробей[править | править код]

Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня[править | править код]

Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального.

Упрощение выражений с вложенными радикалами[править | править код]

Основная статья: Вложенные радикалы

В основном вложенные радикалы не упрощаются. Но если

где a, b и c — рациональные числа, получаем, что

рациолнально, затем оба выражения

рациональны; следовательно

Например,

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Bradie, Brian. Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach (англ.) // The College Mathematics Journal (англ.) : magazine. — 2002. — September (vol. 33, no. 4). — P. 318—319. — doi:10.2307/1559057.

Ссылки[править | править код]