Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$ или $k$-форма — кососимметрическое тензорное поле типа $(k,0)$ на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство $k$-форм на многообразии $M$ обычно обозначают $\Omega ^{k}(M)$.

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени $k$ — это гладкое сечение $k$-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

$k$-формой на $\mathbb {R} ^{n}$ будем называть выражение следующего вида

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

где $f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}$ — гладкие функции, $dx^{i}$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^{i}$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$ ), а $\wedge$ — внешнее произведение. При смене координат, это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

• Для $k$-формы $\omega ^{k}$, её внешний дифференциал это $(k+1)$-форма

• $d\omega ^{k}=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\;\dots ,\;x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
• Факторгруппа $H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется $k$-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы $\omega$ по векторному полю $\mathbf {v}$ называется форма

$i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n})$

Свойства

• В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

  $\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\;\ldots ,\;x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

где $dx^{i}$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^{j}$, а $\wedge$ — внешнее произведение.

• Для дифференциалов дифференциальных форм $\omega _{F}$ векторного поля $F$ справедливо:

$d(d\omega _{F})=0$

$d(\omega _{F}^{0})=\omega _{\nabla F}^{1}$

$d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}$

$d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}$

$d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}$

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от $k$ векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $\ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})$

• Для любой формы справедливо $d(d\omega )=0$.
• теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
• Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:

  $di_{\mathbf {v} }+i_{\mathbf {v} }d=L_{\mathbf {v} }$

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$ многообразия $M$ и отображающий элементы касательного пространства $T_{p}(M)$ в множество вещественных чисел $\mathbb {R}$:

  $\omega (p):T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R}$

• Форма объёма — пример $n$-формы на $n$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\omega$ на $2n$-многообразии, такая что $\omega ^{n}\not =0$.

Применения

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть $I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и $\sigma$ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на $M$. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на $M$. Тогда ротор и дивергенцию для полей на $\mathbb {R} ^{3}$ можно представить как

$\operatorname {rot} \,v=\sigma \circ d\circ I(v)$

$\operatorname {div} \,v=\sigma \circ d\circ \sigma (v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

${\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

${\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}$

$\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}$

где $*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $*\mathbf {F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие $M$ с заданными на нём симплектической формой $\omega$ и функцией $H$, называемой функцией Гамильтона. $\omega$ задаёт в каждой точке $X\in M$ изоморфизм $I$ касательного $T_{X}M$ и кокасательного $T_{X}^{*}M$ пространств по правилу

$dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M$,

где $dH$ — дифференциал функции $H$. Векторное поле $IdH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$ и $G$ на $M$ определяется по правилу

$[F,G]=\omega (IdF,IdG)$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от $k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на $M$ со значениями в векторном расслоении $\pi \colon E\to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $TM$.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса
• Дифференциальные формы в электродинамике