Обменное взаимодействие: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
→Модель Изинга и XY-модель: дополнение |
→Литература: Wolfgang Nolting, Anupuru Ramakanth, викификация |
||
Строка 230: | Строка 230: | ||
}} |
}} |
||
# {{книга |
# {{книга |
||
|автор = Stöhr, J. and Siegmann, H. C. |
|автор = {{не переведено|есть=:en:Stöhr, J|надо=Штор, Иоаким|текст=Stöhr, J.}} and Siegmann, H. C. |
||
|заглавие = Magnetism: From Fundamentals to Nanoscale Dynamics |
|заглавие = Magnetism: From Fundamentals to Nanoscale Dynamics |
||
|издательство = Springer-Verlag Berlin Heidelberg |
|издательство = Springer-Verlag Berlin Heidelberg |
||
Строка 248: | Строка 248: | ||
|isbn = 9789812385796 |
|isbn = 9789812385796 |
||
|ref = Mattis |
|ref = Mattis |
||
}} |
|||
# {{книга |
|||
|автор = Wolfgang Nolting, Anupuru Ramakanth |
|||
|заглавие = Quantum Theory of Magnetism |
|||
|издательство = Springer |
|||
|год = 2009 |
|||
|allpages = 752 |
|||
|isbn = 9783540854159 |
|||
|ref = Nolting, Ramakanth |
|||
}} |
}} |
||
Версия от 15:54, 14 января 2012
Обменное взаимодействие — взаимодействие тождественных частиц в квантовой механике, приводящее к зависимости значения энергии системы частиц от её полного спина. Представляет собой чисто квантовый эффект, исчезающий при предельном переходе к классической механике.
Исторические аспекты
Понятие обменного взаимодействие напрямую связано с концепцией спина, которая разрабатывалась в конце 20-х годов XX века в работах Уленбека, Гаудсмита, Дирака, Паули, Гейзенберга и других. Концепция обмена возникла при изучении спектров излучения атома гелия, интерпретация которых была дана Гейзенбергом в 1926 году. Она объясняет существование двух «типов» гелия: орто- и парагелия, различающихся спиновой конфигурацией электронов.Шаблон:-1 Молекула водорода была описана не указано название статьи и не указано название статьи через год после гейзенберговской теории гелия. Они впервые показали роль обменного взаимодействия в химии.Шаблон:-1 В том же 1927 году Гейзенберг описал ферромагнетизм, а Дираком в 1929 было предложено модельный гамильтониан, содержащий скалярное произведение операторов спинов. Его модель была обобщена ван Флеком в 1932 году.Шаблон:-1 Этим работам предшествовала модель, предложенная в 1920 году не указано название статьи и позднее развитая его учеником не указано название статьи (1925 год), в которой рассматривалась одномерная решётка спинов, которые могли ориентироваться только вдоль выбранного направления. Первоначально, она не получила признания, так как не объясняла явления ферромагнетизма, но к 40-м было показано, что она хорошо описывает магнетизм двухэлементных сплавов (1938 год — статья Ханса Бете) и может быть применена не только в магнетизме.Шаблон:-1
Дальнейшее развитие теории было связано с изучением внутренних механизмов обменного взаимодействия. В то время как первые работы были посвящены так называемому прямому обменному взаимодействию, которое реализуется через непосредственное перекрытие волновых функций соседних атомов, его реальный механизм может существенно отличаться в различных классах соединений. Обменное взаимодействие, возникающие иными способами получило название косвенного. В 1950 году была предложена теория Хендрика Крамерса и Филипа Андерсона, объясняющая антиферромагнетизм соединений d-металлов типа оксида марганца. К середине 50-х появилась теория РККИ-обменного взаимодействия. Позднее было дано объяснение так называемого слабого ферромагнетизма исходя из идеи анизотропных моделей.Шаблон:-1
В настоящее время развитие теории связано с необходимостью учёта обменного взаимодействия как наиболее сильного из магнитных взаимодействий[1] и его ролью в теории спиновых волн.Шаблон:-1
Обменное взаимодействие бозонов и фермионов
Характер обменного взаимодействия между частицами с целым спином (бозонами) и полуцелым спином (фермионами) различен. Для фермионов характер обменного взаимодействия обусловлен принципом Паули, согласно которому два фермиона не могут находиться в совершенно одинаковых состояниях. Принцип Паули запрещает двум электронам с параллельными спинами находиться в перекрывающихся допустимых областях. Поэтому на малых расстояниях порядка длины волны деБройля между электронами, спины которых параллельны, возникает как бы дополнительное отталкивание. В случае антипараллельных спинов возникают силы притяжения, которые играют важную роль при образовании химических связей между атомами. При образовании некоторых молекул, в частности воды и водорода, определенную роль играет обменное взаимодействие между протонами. Обменное взаимодействие характерно для всех фермионов и существует независимо от того, имеются ли между ними другие взаимодействия. Противоположный характер имеет обменное взаимодействие бозонов: чем больше бозонов находится в данном состоянии, тем с большей вероятностью в это состояние переходит ещё один бозон. Это равносильно эффекту притяжения бозонов.Шаблон:-1
Внутриатомное и межатомное обменное взаимодействие электронов
Симметричность волновых функций
Электронная и спиновая структура атома описывается уравнением Дирака. Однако для систем с несколькими электронами его анализ очень громоздкий, а качественная картина взаимодействий может быть получена из не зависящего от времени уравнения Паули. Оно является следствием дираковского уравнения при малых скоростях и фактически являет собой уравнение Шрёдингера с дополнительным слагаемым в гамильтониане, учитывающим наличие спина. Немагнитная часть гамильтониана является суммой кинетических энергий электронов и энергии кулоновского взаимодействия электронов с ядром и между собой:
Спин входит в гамильтониан через учёт спин-орбитального взаимодействия. Оно имеет релятивистскую природу, как и взаимодействие спинов электронов между собой.Шаблон:-1 Релятивистские слагаемые в гамильтониане по своей величине пропорциональны степеням отношения скорости электрона к скорости света и могут быть опущены в первом приближении. Это позволит разделить переменные и записать полную волновую волновую функцию как произведение координатной и пространственной частей, что для двухэлектронной системы можно подать в виде
(ПолнВолнФунк) |
Здесь функция определяется только координатами электронов, а — их спинами. Так как гамильтониан является суммой гамильтонианов отдельных электронов, точно также должна факторизироваться волновая функция каждого из электронов (так называемая спин-орбиталь — орбиталь, в которую введен спин как ещё одна переменная):
где Rn,l — радиальная часть, Yl,m — сферическая гармоника, — часть волновой функции, зависящая от спина.Шаблон:-1 В случае многих электронов связь между полной волновой функцией и отдельными спин-орбиталями даёт детерминант Слейтера.
Наиболее простой системой, в которой важную роль играет обменное взаимодействие, является двухэлектронная. Она реализуется в атоме гелия и молекуле водорода. Электроны — это фермионы, поэтому полная волновая функция должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов:
Так как при этом имеет вид (ПолнВолнФунк), антисимметичность может быть получена двумя способами: пространственная часть волновой функции симметрична, а спиновая — нет, или наоборот. Они являются линейными комбинациями соответствующих частей спин-орбиталей. Поэтому из принципа Паули следуют две возможные формы :
Асимметричная функция соответствует так называемому синглетному состоянию (полный спин равен нулю), а симметричная — триплетному (полный спин равен единице). Соответствующие пространственные волновые функции имеют вид
В этих формулах запись означает, что электрон, находящийся в точке с радиус-вектором и проекцией спина имеет пространственную волновую функцию и спиновую функцию . Каждая из этих волновых функций должна быть нормирована на единицу.Шаблон:-1
Обменное взаимодействие электронов в атомах. Гелий
Гамильтониан для гелия имеет вид
Обменное взаимодействие электронов в молекулах
Обменная энергия
Обменная энергия двух электронов
Проиллюстрируем вычисление обменной энергии на примере системы двух электронов. Взаимодействие электронов рассматривается как возмущение. Пусть частицы находятся без учета их взаимодействия в состояниях с орбитальными волновыми функциями и . Известно, что координатная волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине. Состояниям системы с полным спином и отвечают, соответственно, симметризованное и антисимметризованное произведения:
.
Средние значения оператора взаимодействия частиц в этих состояниях равны , где
.
Смещения уровней системы равны , .
Обменное взаимодействие в магнетиках
Модели с Гейзенберговским гамильтонианом
Модель Гейзенберга
Для описания ферромагнитного или антиферромагнитного упорядочивания в различных математических моделях обычно используют выражение энергии обменного взаимодействия спинов, предложенного Дираком, в котором энергия пропорциональна скалярному произведению операторов спинов s1 и s2
(ГейзГам) |
где J12 — обменный интеграл. Его знак определяет тип взаимодействия: описывает ферромагнитное упорядочивание, а — антиферромагнитное. Выражение (ГейзГам) называют гамильтонианом Гейзенберга. Большинство магнетиков достаточно хорошо им описываются, однако в ряде случаев необходимо учитывать отличие реального гамильтониана от гейзенберговского. В простейшем случае он содержит только первую степень скалярного произведения, что соответствует спину (одноэлектронный ион), иначе необходимо учитывать слагаемые со степенями вплоть до 2s (многоэлектронные ионы).Шаблон:-1 Случай, когда присутствует квадратичная поправка , называют биквадратным обменом. Она достигает минимума, когда спины перпендикулярны друг другу. Подобная связь между спинами может наблюдаться в многослойных системах.Шаблон:-1
Так как гамильтониан макроскопического тела, учитывающий кинетические энергии и энергии кулоновского взаимодействия ионов и электронов, имеет слишком сложную структуру для аналитического анализа, обычно предполагают что его можно заменить суммой гамильтонианов вида (ГейзГам). В таком случае обменный гамильтониан принимает вид
где сумма берётся по узлам решётки.Шаблон:-1 Его иногда также называют гамильтонианом Гейзенберга—Дирака—ван Флека.Шаблон:-1 Во многих случаях можно считать, что обменный интеграл J быстро спадает с расстоянием и отличен от нуля только для соседних узлов магнитной подрешётки.Шаблон:-1 Учёт более дальних соседей приводит к более сложному упорядочиванию спинов: геликоидальному, неколлинеарному и другим.Шаблон:-1 Обменный гамильтониан Гейзенберга является изотропным и не определяет направления суммарной намагниченности системы. Он коммутирует с каждой из проекций суммарного спина S:
Поэтому обменное взаимодействие не может влиять на величину полного спина системы.Шаблон:-1
В случае спиновой природы магнитного момента ферромагнетика можно перейти от оператора спина к оператору плотности магнитного момента через дельта-функцию Дирака δ:
где g — множитель Ланде, — магнетон Бора. Тогда можно записать макроскопическую энергию, соответствующую обменному гамильтониану, как
где функция мало отличается от обменного интеграла при температурах, далёких от точки Кюри.Шаблон:-1 Разложение намагниченности в ряд Тейлора позволяет выделить две составляющие макроскопической обменной энергии, одна из которых зависит только от модуля вектора намагниченности, а другая определяется его пространственными производными:
где
В этом выражении не учитываются поверхностные эффекты, вклад в которые могут давать нечётные степени в разложении функции M по степеням r. Они могут быть актуальны для пироэлектрических кристаллов. Порядок констант A и Λ определяется значением обменного интеграла J0 для соседних атомов и постоянной магнитной решётки a. В простейшем случае их оценивают как и .Шаблон:-1 Сам обменный интеграл соседних ионов равен
где k — константа Больцмана, TC — температура Кюри, а N — количество ближайших соседей (6 для кубической решётки). Для железа эта формула даёт значение 1,19⋅10−2 эВ. Более точные оценки увеличивают это число на 40 %.Шаблон:-1
Модель Изинга и XY-модель
В 1920 году не указано название статьи предложил идею элементарных спиновых диполей, которые могут ориентироваться в строго определённых направлениях. Одномерная модель такой системы была развита в кандидатской диссертации его студента не указано название статьи, рассмотревшего гамильтониан в виде
- .
где — спины единичной длины, взаимодействие которых определяется величиной , Hi — магнитное поле в месте расположения i-го спина. Эта одна из простейших физических моделей, где объекты принимают лишь два значения (в данном случае проекции спина вверх или вниз), также нашла применение за пределами теоретической физики: в пожаротушении, политике и других областях.Шаблон:-1 В магнетизме её можно рассматривать как предельный случай сильной лёгкоосной анизотропии, когда отклонениями от направления лёгкой оси можно пренебречь.Шаблон:-1
Первоначально, рассмотренная Изингом модель магнетика не вызвала интереса, так как в ней отсутствовало ферромагнитное упорядочение при конечных температурах. Однако позднее Ханс Бете обнаружил, что она отлично описывает энергии связи и химические потенциалы между атомами в двухэлементных сплавах, что нашло применение в металлургии.Шаблон:-1 Рудольф Пайерлс показал, что дальний порядок, необходимый для объяснения ферромагнетизма, присутствует при низких температурах, если рассматривать двух- и трехмерные спиновые решётки. При этом в модели возникают фазовые переходы, соответствующие наличию температуры Кюри. Подробный математический анализ двумерных решёток был выполнен Онзагером в 1944 году.Шаблон:-1 Двумерная модель может быть экспериментально реализована на монослоях ферромагнитных атомов. Температурная зависимость и зависимость спонтанной намагниченности монослоёв железа на подложке W (110) показали отличное согласие с теорией вблизи температуры Кюри.Шаблон:-1
Другой предельный случай (сильная лёгкоплоскостная анизотропия) рассматривается так называемой XY-моделью. В ней гамильтониан обычно представляется в виде
В отличие от модели Изинга здесь предполагается, что все спины лежат в плоскости XY.Шаблон:-1
Обе модели — XY и Изинга играют важную роль в статистической механике.Шаблон:-1
Гамильтониан Хаббарда
Анизотропные модели
Причина анизотропии
В многоэлектронных атомах становится важным взаимодействие спинового и механического моментов. LS-связь приводит к расщеплению спектра свободного атома и влиянию симметрии кристаллической решётки на спины в атомах твёрдого тела. В частности, вклад поля решётки превышает несколько энергетических единиц kT (k — константа Больцмана, T — температура) для элементов группы железа. Учёт поправок, вносимых спин-орбитальным взаимодействием и магнитным полем (внешним или решётки) во втором порядке теории возмущений приводит к дополнительному слагаемому в гамильтониане вида
где δμν — символ Кронекера, , а индексы μ и ν пробегают пространственные координаты x, y, z. В нём первое слагаемое является зеемановской энергией (энергия взаимодействия с магнитным полем), второе слагаемое соответствует так называемой одноионной анизотропии, а третье является следствием теории возмущений второго порядка и даёт парамагнитную восприимчивость не зависимую от температуры (парамагнетизм ван Флека).Шаблон:-1 При отсутствии внешних магнитных полей направление полного спина определяется магнитной анизотропией, которая имеет описанную спин-орбитальную природу.Шаблон:-1 Иногда её включают в обменный гамильтониан считая J тензором:
Это обобщение также называют X—Y—Z моделью. Разница между элементами тензора J обычно мала.Шаблон:-1 В некоторых случаях (ГейзГам) может усложняться. Для ионов, чьё основное состояние мультипленое, в нём используется не указано название статьи J и соответствующий ему множитель Ланде gJ:[2]
Такая ситуация характерна для редкоземельных ионов.Шаблон:-1 При наличии ионов с f-электронами, взаимодействие также становится анизотропным. Частными случаями этого являются псевдодипольное обменное взаимодействие и взаимодействие Дзялошинского — Мория.Шаблон:-1
Псевдодипольное и антисимметричное обменные взаимодействия
Анизотропные взаимодействия играют важную роль в объяснении свойств антиферромагнитных купратов. Возникновение специальных типов анизотропного обмена можно показать на примере двух магнитных ионов для которых малой поправкой к гамильтониану считаются сумма вкладов спин-орбитальных взаимодействий каждого из ионов и обменного взаимодействия между ионами. Третий порядок теории возмущений приводит к изменению невозмущённого гамильтониана на величину
Здесь gi — основное состояние, а — константа обменного взаимодействия между ионами для соответствующих состояний кадого из них. С одной стороны эта поправка может рассматриваться как анизотропное обменное взаимодействие, а с другой — как обобщение обычного не указано название статьи. В связи с этим его называют псевдодипольным взаимодействием. По порядку величины его вклад в энергию пропорционален произведению обменной константы на квадрат анизотропной поправки к фактору Ланде.Шаблон:-1
Недиагональные члены поправки второго порядка в теории возмущений приводят к поправке вида
Взаимодействие такого вида называют антисимметричным обменным взаимодействием или взаимодействием Дзялошинского — Мория. Вектор
называют вектором Дзялошинского. Он равен нулю, если поле кристаллической решётки симметрично по отношению к инверсии относительно центра между обеими ионами.Шаблон:-1 Очевидно, энергия взаимодействия ненулевая только если ячейки не магнитно эквивалентны. Взаимодействие Дзялошинского — Мория проявляется в некоторых антиферромагнетиках. Результатом является появление слабой спонтанной намагниченности. Этот эффект называют слабым ферромагнетизмом, так как результирующая намагниченность составляет десятые доли процентов от намагниченности в типичных ферромагнетиках. Слабый ферромагнетизм проявляется в гематите, карбонатах кобальта, мангана и некоторых других металлов.Шаблон:-1 Выраженный в радианах угол между магнитными подрешётками при слабом ферромагнетизме по порядку величины равен анизотропии множителя Ланде.Шаблон:-1
Косвенный обмен
Прямой и косвенный обмен
Обменная энергия это добавка к энергии системы взаимодействующих частиц в квантовой механике, обусловленная перекрытием волновых функций при ненулевом значении полного спина системы частиц. В случае непосредственного перекрытия двух волновых функций говорят о прямом обмене (Гейзенберга), а в случае присутствия частицы-посредника, через которую происходит взаимодействие, говорят о косвенном обмене.Шаблон:-1 Посредниками при косвенном обмене могут выступать диамагнитные ионы (наподобие кислорода O2−) или электроны проводимости. Первый случай теоретически был рассмотрен Крамерсом (1934) и Андерсоном (1950-е), а второй был предсказан Рудерманом и Киттелем (1954). В реальных кристаллах, в той или иной мере присутствуют все типы обмена.Шаблон:-1 Внутренний характер взаимодействия слабо влияет на описание макроскопических систем, так как выражение (ГейзГам) имеет общий характер, а конкретный тип обмена (косвенный или прямой), определяется аналитическим выражением для J12.
Суперобменное взаимодействие
Большинство ферро- и ферримагнитных диэлектриков состоит из магнитных 3d-ионов, разделённых такими немагнитными ионами, как O2−, Br−, Cl− и др. Образуется ситуация, когда расстояния для непосредственного взаимодействия 3d-орбиталей слишком велико и обменное взаимодействие осуществляется перекрытием волновых функций 3d-орбиталей магнитных ионов и p-орбиталей немагнитных ионов. Орбитали оказываются гибридизированными, а их электроны становятся общими для нескольких ионов. Такое взаимодействие называется суперобменным. Его знак (то есть, является ли диэлектрик ферро- или антиферромагнетиком) определяется типом d-орбиталей, количеством электронов на них и углом, под которым видна пара магнитных ионов из узла, где находится немагнитный ион.Шаблон:-1
Двойной обмен
Оксиды переходных металлов могут быть как проводниками, так и диэлектриками. В диэлектриках имеет место суперобменное взаимодействие. Однако управляя легированием можно добиться перехода оксида в проводящее состояние. В манганитах лантана вида La1−xCaxMnO3 при определённых значениях параметра x про часть ионов марганца может иметь валентность 3+, а другая — 4+. Обменное взаимодействие между ними, совершаемое через ионы O2-, называют двойным обменом. Эти соединения так же будут ферро- или антиферромагнетиками в зависимости от значения x. Ферромагнитное упорядочивание будет в том случае, если суммарные спины 3-х и 4-валентных ионов сонаправлены, при этом 4-й электрон может быть делокализован. Иначе он локализирован на ионе с меньшей валентностью. Для La1−xSrxMnO3 переход из антиферромагнитной в ферромагнитную фазы происходит при (бо́льшим значениям x соответствует ферромагнетик).Шаблон:-1
РККИ-обменное взаимодействие
Редкоземельные элементы имеют частично заполненную 4f-орбиталь, характерный размер которой существенно меньше межатомных расстояний в кристаллической решётке. Поэтому 4f-электроны соседних ионов не могут напрямую взаимодействовать друг с другом. Обменное взаимодействие между ними осуществляется с помощью электронов проводимости. Каждый редкоземельный ион создает возле себя достаточно сильное эффективное поле, которое поляризует электроны проводимости. Такое косвенное обменное взаимодействие между 4f-электронами называют взаимодействием Рудермана — Киттеля — Касуя — Иосиды (РККИ-обменное взаимодействие).Шаблон:-1 Будет ли металл ферро- или антиферромагнетиком зависит от строения 4f-зоны и расстояния между ионами Зависимость обменного интеграла от произведения волнового вектора электронов на уровне Ферми kF и расстояния между магнитными ионами a имеет знакопеременный осциллирующий характер. Этим, в частности, объясняется существование геликоидальных и некоторых других магнитных структур. РККИ-взаимодействие существенно зависит от концентрации свободных носителей заряда и может быть существенно более дальнодействующим, чем прямой обмен.Шаблон:-1
См. также
Примечания
- ↑ Stöhr, Siegmann, 2006, p. 168.
- ↑ Buschow, 2005, p. 392.
Литература
- Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Спиновые волны. — М.: Наука, 1967. — 368 с. — 10 000 экз.
- Барьяхтар В. Г., Криворучко В. Н., Яблонский Д. А. Функции Грина в теории магнетизма. — К.: Наукова думка, 1984. — 336 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — Изд. 5-е, перераб.. — М.: Наука, 1976. — 664 с. — 34 000 экз.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», в 10 т., т. 3 «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд. стереотип., М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3) гл. 9 «Тождественность частиц», п. 62 «Обменное взаимодействие», с. 285—290;
- de Lacheisserie É., Gignoux D., Schlenker M. Magnetism: Fundamentals. — Springer, 2005. — Vol. 1. — 507 p. — (Magnetism). — ISBN 9780387229676.
- не указано название статьи and Siegmann, H. C. Magnetism: From Fundamentals to Nanoscale Dynamics. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. — Vol. 152. — 820 p. — (Springer series in solid-state sciences). — ISBN 978-3540302827.
- Mattis, D. C. The theory of magnetism made simple: an introduction to physical concepts and to some useful mathematical methods. — World Scientific, 2006. — 565 p. — ISBN 9789812385796.
- Wolfgang Nolting, Anupuru Ramakanth. Quantum Theory of Magnetism. — Springer, 2009. — 752 p. — ISBN 9783540854159.
Статьи
- W. Heisenberg (1926). "Über die Spektra von Atomsystemen mit zwei Elektronen". Z. Phys. 39: 499—518. doi:10.1007/BF01322090.
{{cite journal}}
: Неизвестный параметр|month=
игнорируется (справка) - W. Heitler, F. London, (1927). "Wechselwirkung neutraler Atome und homöopolare Bindung nach der Quantenmechanik". Z. Phys. 44: 455—472.
{{cite journal}}
: Неизвестный параметр|month=
игнорируется (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (лишняя пунктуация) (ссылка) Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)