Алгебра логики

Не следует путать с булевой алгеброй.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Определение

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся над множеством {B, $\lnot$, $\land$, $\lor$, 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

$\lnot$ отрицание (унарная операция),

$\land$ конъюнкция (бинарная),

$\lor$ дизъюнкция (бинарная),

а также константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например $x_{1}\lor \neg x_{2}\lor x_{4}$). Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например $x_{1}\land \neg x_{2}\land x_{4}$).

Аксиомы

1. ${\bar {\bar {x}}}=x$
2. $x+{\bar {x}}=1$
3. $\ x+1=1;$
4. $\ x+x=x;$
5. $\ x+0=x;$
6. $\ x*{\bar {x}}=0$
7. $\ x*x=x;$
8. $\ x*0=0;$
9. $\ x*1=x;$

Логические операции

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие как эквивалентность $\leftrightarrow$ («тогда и только тогда, когда»), импликация $\rightarrow$ («следовательно»), сложение по модулю два $\oplus$ («исключающее или»), штрих Шеффера $\mid$, стрелка Пирса $\downarrow$ и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция $\neg$ приобретает смысл вычитания из единицы; $\lor$ — немодульного сложения; & — умножения; $\leftrightarrow$ — равенства; $\oplus$ — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); $\mid$ — непревосходства суммы над 1 (то есть A $\mid$ B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.

Свойства логических операций

1. Коммутативность: x$\circ$y = y$\circ$x, $\circ \in${&, $\lor ,\oplus ,\sim ,\mid ,\downarrow$}.
2. Идемпотентность: x$\circ$x = x, $\circ \in${&, $\lor$}.
3. Ассоциативность: (x$\circ$y)$\circ$z = x$\circ$(y$\circ$z), $\circ \in${&, $\lor ,\oplus ,\sim$}.
4. Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:
   • $x\ast (y+z)=x*y+x*z$,
   • $x+y\ast z=(x+y)*(x+z)$,
   • $x*(y\oplus z)=x*y\oplus x*z$.
5. Законы де Мо́ргана:
   • ${\overline {x*y}}={\bar {x}}+{\bar {y}}$,
   • ${\overline {x+y}}={\bar {x}}*{\bar {y}}$.
6. Законы поглощения:
   • $x\ast (x+y)=x$,
   • $x+x\ast y=x$.
7. Другие (1):
   • $x*{\bar {x}}=x*0=x\oplus x=0$.
   • $x+{\bar {x}}=x+1=x\sim x=x\rightarrow x=1$.
   • $x+x=x*x=x*1=x+0=x\oplus 0=x$.
   • $x\oplus 1=x\rightarrow 0=x\sim 0=x\mid x=x\downarrow x={\bar {x}}$.
   • ${\bar {\bar {x}}}=x$.
8. Другие (2):
   • $x\oplus y=x*{\bar {y}}+{\bar {x}}*y=(x+y)*({\bar {x}}+{\bar {y}})$.
   • $x\sim y={\overline {x\oplus y}}=1\oplus x\oplus y=x*y+{\bar {x}}*{\bar {y}}=(x+{\bar {y}})*({\bar {x}}+y)$.
   • $x\rightarrow y={\bar {x}}+y=x*y\oplus x\oplus 1$.
   • $x+y=x\oplus y\oplus x*y$
9. Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):
   • $x\mid y={\overline {x*y}}={\bar {x}}+{\bar {y}}$.
   • $x\downarrow y={\overline {x+y}}={\bar {x}}*{\bar {y}}$.

Существуют методы упрощения логической функции: например, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класки

История

Своим существованием наука «алгебра логики» обязана английскому математику Джорджу Булю, который исследовал логику высказываний. Первый в России курс по алгебре логики был прочитан П. С. Порецким в Казанском государственном университете.

См. также

• Булева алгебра
• Булева функция
• Битовые операции