Разложение матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы A в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью — и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного оператора с матрицей A.

Классификация[править | править вики-текст]

Количественное рассмотрение[править | править вики-текст]

[1]

Полярное разложение[править | править вики-текст]

Полярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной и симметричной с неотрицательными собственными значениями матриц.

Так как (A^T A)^T = A^T A, то матрица A^T A симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через \vec{e}, состоящий из ортонормированных векторов матрицы A^T A, расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как (A^T(x), y) = (x, A(y)), то для любых векторов e_i и e_j базиса e выполняется \lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^T A(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{e_j})). Значит, образ базиса \vec{e} относительно преобразования A ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования A векторы \vec{e_i} базиса e преобразуются в векторы \sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}.

Сингулярные числа матрицы A — квадратные корни \sqrt{\lambda_i} из собственных значений матрицы A^TA.

Отсюда очевидно, что \lambda_i \ge 0. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число r, что \forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0.

Пусть f — система векторов \vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}} при i < r, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть Q — матрица перехода из базиса e в базис f. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица Q ортогональная. Так как Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы Q^{-1} A. Это значит, что матрица Q^{-1} A в базисе \vec{e} имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A), где матрица Q ортогональная, а матрица Q^{-1} A симметричная.

Сингулярное разложение[править | править вики-текст]

Сингулярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Имеется полярное разложение A=QS, где Q ортогональна и S симметрична. Можно обозначить через P матрицу перехода в базис, в котором симметричная матрица S имеет диагональный вид D; тогда D=P^{-1}SP, и S=PDP^{-1}; соответственно A=QPDP^{-1}; матрица QP ортогональна как произведение ортогональных. Матрица D, действительно, имеет сингулярные числа данного преобразования на диагонали (см. доказательство полярного разложения); обозначая Q_1=QP, Q_2=P^{-1}, получаем A = Q_1 D Q_2, где Q_1 и Q_2 ортогональны, D диагональна с сингулярными числами на диагонали.

Источники[править | править вики-текст]

  1. Беклемишев, Д. В. Глава VI. Линейные пространства // Курс аналитическое геометрии и линейной алгебры. — 10-е изд., испр.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — С. 232-233. — 304 с. — ISBN 5-9221-0304-0
  2. собственные значения симметричной матрицы