Гауссова функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

,

где параметры  — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратичное отклонение и математическое ожидание :

, , ,
Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания и среднеквадратичного отклонения

График гауссовой функции при и  — колоколообразная кривая, параметр определяет максимальную высоту графика — пик колокола, отвечает от сдвига пика от нуля (при  — пик в нуле), а влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции[⇨]. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение[⇨] в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

Свойства[править | править код]

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр связан с полушириной колокола графика следующим образом:

.

Гауссова функция может быть выражена через полуширину колокола графика следующим образом:

.

Перегибы  — две точки, в которых .

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

.

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл по гауссовой функции — это функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа[1]:

.

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

,

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием и дисперсией .

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: . Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщения[править | править код]

Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
,
,
,

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

,

здесь задаёт высоту колокола, определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

,

где матрица:

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в -мерном евклидовом пространстве:

,

где  — вектор-столбец из компонентов,  — положительно определённая матрица размера , и  — операция транспозиции над .

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством :

.

Возможно определить -мерный вариант и со сдвигом:

,

где  — вектор сдвига, а матрица  — симметричная () и положительно определённая.

Супергауссова функция[править | править код]

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень :

,

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков[2]. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам и [3]:

.

Применения[править | править код]

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса[en] — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния[en]* квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали[en] — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро[en]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука[4]; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие[en]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

Примечания[править | править код]

  1. Кампос, 2014, p. 1—2.
  2. A. Parent, M. Morin, P. Lavigne Propagation of super-Gaussian field distributions // Optical and quantum electronics. — 1992. — № 9. — P. S1071—S1079.
  3. GLAD optical software commands manual, Entry on GAUSSIAN command. Applied Optics Research (15 декабря 2016).
  4. C. R. Popa. Current-mode Analog Nonlinear Function Synthesizer Structures. — Springer Switzerland, 2013. — С. 59. — 198 с. — ISBN 983-3-319-01035-9.

Литература[править | править код]

  • L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

Ссылки[править | править код]