Биекция

Биективная функция.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).

Определение

Функция $f:X\to Y$ называется биекцией (и обозначается $f:X\leftrightarrow Y$), если она:

1. Переводит разные элементы множества $X$ в разные элементы множества $Y$ (инъективность). Иными словами,
   • $\forall x_{1}\in X,\;\forall x_{2}\in X\;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$.
2. Любой элемент из $Y$ имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
   • $\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y$.

Примеры

• Тождественное отображение $\mathrm {id} :\ X\to X$ на множестве $X$ биективно.
• $f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ — биективные функции из $\mathbb {R}$ в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из $\mathbb {R}$ в себя.
• $f(x)=e^{x}$ — биективная функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R} _{+}=(0,\;+\infty )$.
• $f(x)=\sin x$ не является биективной функцией, если считать её определённой на всём $\mathbb {R}$.

Свойства

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.

• Функция $f:X\to Y$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция $f^{-1}:Y\to X$ такая, что

$\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.$

• Если функции $f$ и $g$ биективны, то и композиция функций $g\circ f$ биективна, в этом случае $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если $g\circ f$ биективна, то мы можем утверждать лишь, что $f$ инъективна, а $g$ сюръективна.

Применения

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

См. также

• Инъекция (математика)
• Сюръекция
• Отображение
• Гомоморфизм
• Морфизм
• Эндоморфизм
• Автоморфизм
• Мономорфизм
• Эпиморфизм
• Биморфизм
• Изоморфизм
• Синоним
• Подобие
• Аналогия

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.