Среднее гармоническое взвешенное

См. также: Среднее гармоническое

Среднее гармоническое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего гармонического. Для набора вещественных чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с вещественными весами $w_{1},w_{2}\ldots ,w_{n}$ определяется как

${\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}={\dfrac {w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}{w_{1}/x_{1}+w_{2}/x_{2}+\ldots +w_{n}/x_{n}}}.$

В том случае, если все веса равны между собой, среднее гармоническое взвешенное равно среднему гармоническому.

Существуют также взвешенные версии для других средних величин. Наиболее известным является среднее арифметическое взвешенное.

Пример: средняя скорость

Если тело проходит участок пути длины $s_{1}$ со скоростью $v_{1}$, следующий за ним участок пути длины $s_{2}$ — со скоростью $v_{2}$ и так далее до последнего участка пути длины $s_{n}$, который проходится со скоростью $v_{n}$, то средняя скорость движения тела на всём пути (длины $s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{n}$) будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей $v_{1},\ldots ,v_{n}$ с набором весов $s_{1},\ldots ,s_{n}$:

$v_{cp}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {s_{i}}{v_{i}}}={\dfrac {s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{n}}{s_{1}/v_{1}+s_{2}/v_{2}+\ldots +s_{n}/v_{n}}}.$.

Ссылки

• https://chemicalstatistician.wordpress.com/2014/06/25/mathematics-and-applied-statistics-lesson-of-the-day-the-weighted-harmonic-mean/
• Средние величины и показатели вариации / Чалиев А.А. "Средняя гармоническая .. получим формулу средней гармонической взвешенной"