Среднее арифметическое взвешенное

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сре́днее арифмети́ческое взве́шенное набора вещественных чисел x_1, \ldots, x_n с неотрицательными вещественными весами w_1, \ldots, w_n определяется как


\bar{x} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}.

При этом не допускается одновременное равенство всех весов нулю (но допускается равенство некоторых из них).

Часто подразумевают, что сумма весов равна 1, тогда формула выглядит следующим образом:


\bar{x} = \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i.

В том случае, если все веса равны между собой, среднее арифметическое взвешенное будет равно среднему арифметическому.

Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову, а также медианы.

Примеры использования[править | править вики-текст]

В физике[править | править вики-текст]

Средняя скорость тела

Если тело в течение промежутка времени t_1 движется со скоростью v_1, затем в течение следующего промежутка времени t_2 — со скоростью v_2 и так далее до последнего промежутка времени t_n, в течение которого оно движется со скоростью v_n, то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени (t_1+t_2+\ldots+t_n) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей v_1,\ldots,v_n с набором весов t_1,\ldots,t_n:

 v_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n t_i \cdot v_i}{\sum\limits_{i=1}^n t_i} .
Центр масс

Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:

 \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i},

где  \vec r_c  — радиус-вектор центра масс,
 \vec r_i  — радиус-вектор i-й точки системы,
~ m_i  — масса i-й точки.

Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами
 t_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n t_i \cdot m_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} ,

где  t_{cp}  — полученная температура смеси,
 t_i  — температура i-й порции,
 m_i  — масса i-й порции.

В экономике[править | править вики-текст]

Средневзвешенный курс валюты
 C_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n C_i \cdot b_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i} ,

где  C_{cp}  — средневзвешенный курс,
 C_i  — курс оборота по i-му торгу,
 b_i  — размер i-го торга.

См. также[править | править вики-текст]