Первая теорема о среднем

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка[править | править код]

Пусть функция интегрируема на отрезке , и ограничена на нём числами и так, что . Тогда существует такое число , , что

.

Доказательство[править | править код]

Из неравенства по свойству монотонности интеграла имеем

.

Обозначив , получим требуемое утверждение. Так определённое число называют средним значением функции на отрезке , откуда и название теоремы.

Замечание[править | править код]

Если функция непрерывна на , то в качестве и можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по известной теореме существует такая точка , что , поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

.

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

,

где первообразная функции , что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции .

Обобщение[править | править код]

Пусть функции и интегрируемы на отрезке , причём по-прежнему , а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: , либо всюду неположительна ). Тогда существует такое число , , что

.

Доказательство[править | править код]

Пусть неотрицательна, тогда имеем

,

откуда, ввиду монотонности интеграла

.

Если , то из этого неравенства следует, что , и утверждение теоремы выполняется при любом . В противном случае положим

.

Обобщение доказано. Если функция непрерывна, можно утверждать, что существует точка такая, что

(аналогично предыдущему).

Литература[править | править код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т. II.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1981.