Среднее значение функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то существует точка , принадлежащая интервалу , такая, что . В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если непрерывна на отрезке , а сохраняет постоянный знак, то существует точка из интервала такая, что

В частности, если , то

Вследствие этого под средним значением функции на отрезке обычно понимают величину

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.