Среднее арифметико-геометрическое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин и  как предел последовательности , , где:

имеют при один и тот же предел:[1][2]

.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.[3]

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин и  — (общий) предел (убывающей) последовательности и (возрастающей) последовательности , где , и .

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса с полуосями и :

где  — АГС чисел и , а  — МАГС чисел и . Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.[3]

Приложения[править | править код]

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа . Например, по формуле Гаусса — Саламина[4]:

где , , .

В то же время, если взять:

,

то

,

где есть полный эллиптический интеграл

.

То есть выражается формулой:

,

где  — АГС 1 и , а  — МАГС 1 и [3].

Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена[уточнить][5], Брент предложил[6] первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций (). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами[7]

Примечания[править | править код]

  1. B. C. Carlson. Algorithms involving arithmetic and geometric means (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1971. — Vol. 78. — P. 496—505. — DOI:10.2307/2317754.
  2. B. C. Carlson. An algorithm for computing logarithms and arctangents (англ.) // Math.Comp. : journal. — 1972. — Vol. 26, no. 118. — P. 543—549. — DOI:10.2307/2005182.
  3. 1 2 3 Adlaj, Semjon (September 2012), "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf> 
  4. E. Salamin[en]. Computation of using arithmetic-geometric mean (англ.) // Math. Comp.[en] : journal. — 1976. — Vol. 30, no. 135. — P. 565—570. — DOI:10.2307/2005327.
  5. J. Landen. An investigation of a general theorem for finding the length of any arc of any conic hyperbola, by means of two elliptic arcs, with some other new and useful theorems deduced therefrom (англ.) // Philos. Trans. Royal Soc. London : journal. — 1775. — Vol. 65. — P. 283—289.
  6. R.P. Brent. Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions (англ.) // J. Assoc. Comput. Mach. : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — DOI:10.1145/321941.321944.
  7. J. M. Borwein[en] and P. B. Borwein[en]. Pi and the AGM (неопр.). — New York: Wiley, 1987. — ISBN 0-471-83138-7.