Отношение (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Тернарное отношение»)
Перейти к: навигация, поиск

Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.

Понятие отношения как подмножества декартова произведения формализовано в теории множеств и получило широкое распространение в языке математики во всех её ветвях. Теоретико-множественный взгляд на отношение характеризует его с точки зрения объёма — какими комбинациями элементов оно наполнено; содержательный подход рассматривается в математической логике, где отношение — пропозициональная функция, то есть выражение с неопределённым переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным. Важную роль отношения играют в универсальной алгебре, где базовый объект изучения раздела — множество с произвольным набором операций и отношений. Одно из самых ярких применений техники математических отношений в приложениях — реляционные системы управления базами данных, методологически основанные на формальной алгебре отношений.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам, такими как симметричность, транзитивность, рефлексивность.

Формальные определения и обозначения[править | править вики-текст]

-местным (-арным) отношением , заданным на множествах , называется подмножество декартова произведения этих множеств: . Факт связи -ки элементов отношением обозначается или .

Факт связи объектов и бинарным отношением обычно обозначают с помощью инфиксной записи: . Одноместные (унарные) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. Иногда используются трёхместные отношения (тернарные), четырёхместные отношения (кватернанрые); об отношениях неопределённо высокой арности говорят как о «мультиарных», «многоместных».

Универсальное отношение — это отношение, связывающее все элементы заданных множеств, то есть, совпадающее с декартовым произведением: . Нуль-отношение — отношение, не связывающее никакие элементы, то есть пустое множество: .

Функциональное отношение — отношение, образующее функцию: является функциональным, если из выполнения и следует, что (обеспечивается единственность значения функции).

Общие свойства и виды бинарных отношений[править | править вики-текст]

Наиболее распространённые в языке математики отношения — бинарные над одним множеством (), наиболее часто используются обладающие некоторыми общими свойствами[1]:

В зависимости от набора свойств бинарных отношений формируются некоторые широко используемые их виды:

Важную роль играет отношение равенства — отношение эквивалентности, выполненное только для двух совпадающих элементов.

Могут быть и другие комбинации свойств отношений, например, симметрично и рефлексивно, но не обладает другими простыми свойствами, отношение делимости на множестве натуральных чисел, обычно обозначаемое символом , оно состоит из пар вида , где делит нацело. Пример тернарного отношения — образование пифагоровой тройки тремя числами, нахождение в отношении пифагоровой четвёрки — пример кватернарного отношения.

Более свободный набор свойств бинарных отношений применяется в теории графов: неориентированный граф может быть определён как множество вершин с симметричным бинарным отношением над ним, а ориентированный граф — как множество вершин с произвольным бинарным отношением над ним.

Алгебры отношений[править | править вики-текст]

Все -арные отношения над декартовым произведением образуют булеву алгебру относительно теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения.

Реляционная алгебра — широко применяемая в информатике формальная система, позволяющая производить некоторые операции с отношениями разных типов (разной арности, над разными декартовыми произведениями), например, такие как проекция, соединение. Основная аналогия, заложенная в реляционный подход к базам данных — возможность представления табличной справочной информации как отношения над некоторым декартовым произведением предметных областей; например телефонный справочник с заголовком:

Телефон ФИО абонента Название организации Адрес

можно рассматривать как отношение над декартовым произведением областей телефонных номеров, персоналий, организаций и адресов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В формулах опущены кванторы всеобщности

Литература[править | править вики-текст]