Экспериментальная математика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экспериментальная математика — область математики, отличающаяся использованием различных приемов, в т. ч. приёмов подстановки, перемещения, доказательств от обратного, в т.ч. с использованием электронно-вычислительных инструментов для проверки, подтверждения старых и получения новых фактов (теорем) в математике. Все результаты, полученные в экспериментальной математике, являются строго доказанными утверждениями математики. Строго говоря, любые доказательства, выкладки, вычисления и т.д. являются экспериментами с целью получения новых законов (теорем). Однако в экспериментальной математике для проведения экспериментов используется современная вычислительная техника, позволяющая осуществлять эксперименты, недоступные при ручном счете. Основным методом экспериментальной математики являются доказательные вычисления, в ходе которых результаты вычислений используются для строгого доказательства математических фактов.

Пол Ричард Халмош писал: «Математика не является дедуктивной наукой — это клише. Если вы пытаетесь доказать теорему, вам недостаточно перечислить посылки, а затем начать рассуждения. Что вы делаете, это пробы и ошибки, эксперименты и угадывания. Вам нужно обнаружить, что это за факт, и то, что вы делаете, похоже на работу экспериментатора в лаборатории.»[1]

История[править | править вики-текст]

Математики всегда практиковали экспериментальную математику. Существуют записи ранних математиков, таких как вавилонские, обычно состоящие из списка числовых примеров, иллюстрирующих алгебраическое тождество. Однако современные математики, начиная с 17-го столетия, развили традицию печати результатов в конечном, формальном представлении. Числовые примеры, которые могли привести математику к формулировке теоремы, не публиковались, и, как правило, забыты.

Экспериментальная математика как отдельная область изучения возродилась в двадцатом столетии, когда изобретение электронных компьютеров в значительной степени увеличило область выполнимых вычислений со скоростью и точностью, которая была недоступна предыдущим поколениям математиков. Существенной вехой и достижением экспериментальной математики было открытие в 1995-м году формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа для двоичных цифр числа π. Формула была открыта не по формальным причинам, а после поиска с помощью компьютера. Только после этого было найдено строгое доказательство[2].

Цели и использование[править | править вики-текст]

Целью экспериментальной математики является «получить понимание и проникновения в сущность понятий, подтвердить или опровергнуть гипотезы, сделать математику более осязаемой, яркой и интересной как для профессиональных математиков, так и любителей»[3].

Использование экспериментальной математики[4]:

  1. Проникновение в сущность и чувство предмета.
  2. Открытие новых моделей и связей.
  3. Использование графических дисплеев для попытки угадать лежащие в основе принципы.
  4. Проверка и опровержение гипотез.
  5. Исследование возможных результатов для оценки, являются ли они стоящими формальными доказательствами.
  6. Предложение подходов для формального доказательства.
  7. Замена длинных ручных выводов выводами на основе компьютера.
  8. Подтверждение полученных аналитически результатов.

Аппарат и техники[править | править вики-текст]

Экспериментальная математика использует вычислительные методы для вычисления приближённых значений интегралов и сумм бесконечных рядов. Для вычислений часто используется арифметика произвольной точности — обычно 100 значащих цифр и более. Затем используется алгоритм целочисленных отношений[en] для поиска связей между этими значениями и математическими константами. Работа с высокой точностью уменьшает возможность принятия математического совпадения за истинную связь. Затем ищется формальное доказательство предполагаемой связи — часто проще найти доказательство, если гипотетическая связь известна.

Если ищется контрпример или нужно произвести доказательство, требующее перебора большого объёма, может быть использована техника распределённых вычислений для распределения вычисления между компьютерами.

Часто используются общие системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, хотя пишутся и специфичные для конкретной области программы, чтобы атаковать проблемы, для решения которых нужна высокая эффективность. Программное обеспечение экспериментальной математики обычно включает механизмы обнаружения и исправления ошибок, проверку целостности и избыточные вычисления для минимизации возможности получения ошибочного результата при программных ошибках или сбоях процессора.

Приложения и примеры[править | править вики-текст]

Правдоподобные, но неверные примеры[править | править вики-текст]

Некоторые правдоподобные связи выполняются до высокой степени точности, но остаются неверными. Один такой пример:

Обе стороны данного выражения отличаются лишь в 42-м знаке[8].

Другой пример — максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех множителей xn − 1 оказывается той же самой, что и высота кругового многочлена n-й степени. Компьютерные вычисления показали, что это верно для n < 10000 и ожидали, что это верно для всех n. Однако более полный поиск показал, что равенство оказывается неверным для n = 14235, когда высота кругового многочлена n-й степени равна 2, а максимальная высота множителей xn − 1 равна 3[9].

Исследователи[править | править вики-текст]

Следующие математики и специалисты в области информатики[en] внесли существенный вклад в области экспериментальной математики:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Paul R. Halmos. I Want to be a Mathematician: An Automathography. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 9780387964706.
  • Jonathan Borwein, David Bailey. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. — A.K. Peters, 2004. — С. 2. — ISBN 1-56881-211-6.
  • David H. Bailey, Jonathan M. Borwein Future Prospects for Computer-Assisted Mathematics. — 2005.
  • Clement W. H. Lam The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вып. 4. — DOI:10.2307/2323798.
  • David Mumford, Caroline Series, David Wright. Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. — Cambridge, 2002. — ISBN 0-521-35253-3.
  • David Bailey New Math Formulas Discovered With Supercomputers // NAS News. — 1997. — Т. 2, вып. 24.
  • Арнольд В.И. Экспериментальная математика. — М.: Фазис, 2005. — 64 с. — ISBN 5-7036-0105-3.
  • Бабенко К.И., Петрович В.Ю., Рахманов А.И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. — 1988. — Т. 303, № 5. — С. 1033-1037.

Ссылки[править | править вики-текст]