Вавилонская математика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Данная статья — часть обзора История математики.
Вавилонская табличка (около 1800–1600 г. до н. э.) с вычислением
= 1.41421296…

Общие сведения[править | править вики-текст]

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э. на территории современного Ирака, придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.[1]

Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение квадратных уравнений, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян.

В вавилонских текстах, как и в египетских, излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян несомненно была[2].

Нумерация[править | править вики-текст]

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.

Греческие и средневековые европейские математики (в том числе и Коперник), для обозначения дробных частей пользовались вавилонской 60-ричной системой. Благодаря этому, мы делим час на 60 минут и минуты на 60 секунд. При этом надо отметить, что вопреки распространённому мнению, часы, минуты и секунды не использовались в Древнем Вавилоне. Вместо этого использовался «двойной час» длительностью 120 современных минут, а также «время-градус» длительностью 1360 дня (т.е. четыре минуты) и «третья часть» длительностью 313 современных секунды (как хелек в современной еврейском календаре)[3].

В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:

4,2,10; 46,52

Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Арифметика и алгебра[править | править вики-текст]

Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени n, если дано число вида (эти двоичные логарифмы использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица[4][5].

Линейные и квадратные уравнения (см. Plimpton 322) решались ещё в эпоху Хаммурапи (он правил в 1793−1750 годах до н. э.); при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись как буквенные обозначения для неизвестного (в терминах современной алгебры). Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений.

Для вычисления квадратных корней вавилоняне открыли быстро сходящийся итерационный процесс. Начальное приближение для рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа . Представив подкоренное выражение в виде: , получаем: , затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона[6]:

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для , например, и мы получаем последовательность приближений:

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Геометрия[править | править вики-текст]

В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегмент круга и усечённый конус. В ранних документах полагают ; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть . Впервые появляется (ещё при Хаммурапи) теорема Пифагора, причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в Египте: .

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.)

Венцом планиметрии была теорема Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами до н. э.[7].

Историческое влияние[править | править вики-текст]

Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. История математики, 1970, с. 35.
  2. Матвиевская Г. П., 1967, с. 7—8.
  3. Стр. 325 в O Neugebauer (1949). «The astronomy of Maimonides and its sources». Hebrew Union College Annual 22: 321–360.
  4. История математики, 1970, с. 37—39.
  5. Матвиевская Г. П., 1967, с. 6—7.
  6. История математики, 1970, с. 47.
  7. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]