Задача трёх тел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями.
Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения импульса остается на месте.

Задача трёх теластрономии) — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известно только 5 точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка[править | править вики-текст]

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

где гравитационная постоянная,  — массы тел,  — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения[править | править вики-текст]

На данный момент известно как минимум 21 частное решение:

  • Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они имеют место, когда все три тела находятся на одной прямой. В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным.
  • Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж. В них треугольник, образованный телами, сохраняется равносторонним, вращаясь в пространстве либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.

В 1892–1899 годах Анри Пуанкаре доказал что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.

  • В 1911 году Уильям Дункан Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования, лишь в 1961 году советский математик Кирилл Александрович Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова).
  • В середине 1970-х было открыто еще одно семейство орбит Бруке-Хено-Хаджидеметриу.
  • В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок» нашёл Мур[1][2].
Полости Роша для двойной системы (обозначены жёлтым)

Общий случай[править | править вики-текст]

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной[4].

Приближённое решение[править | править вики-текст]

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде

,

где  — некоторые полиномы. Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

  • Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией в интервале и перестает быть таковым при , то при или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). (Пенлеве, 1897)
  • Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. (Ф. А. Слудский, 1874)
  • Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр , через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси . (Зундман, 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet)[5])

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями вдоль всей вещественной оси плоскости , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий[6], по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум членов.

Точное решение[править | править вики-текст]

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой, разложив её на независимые уравнения. Открытие показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Стюарт, 2016, с. 217.
  2. Сербские физики значительно расширили число известных решений «задачи трёх тел»
  3. Lenta.ru: Наука и техника: Наука: Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трёх тел. Проверено 17 марта 2013. Архивировано 21 марта 2013 года.
  4. Погребысский И. Б. Комм. к Задаче трёх тел Пуанкаре// Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1979. С.967-976.
  5. Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004
  6. Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768. Published: 1931

Литература[править | править вики-текст]

  • Алексеев В. М. Лекции по небесной механике. — Ижевск: РХД, 2001. — 156 с.
  • Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959. — 300 с.
  • Маршал К. Задача трёх тел. — Ижевск: РХД, 2004. — 640 с.
  • Иэн Стюарт[en]. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.